优化设计的数学模型：从1.4到更好

优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成以下统一形式：

求变量：x₁，x₂，…，x_n

使极小化函数：f（x₁，x₂，…，x_n）

满足约束条件：

g_u（x₁，x₂，…，x_n）≤0（u=1，2，…，m）

h_v（x₁，x₂，…，x_n）=0（v=1，2，…，P，P＜n）

其中g_u（x₁，x₂，…，x_n）≤0称为不等式约束条件，h_v（x₁，x₂，…，x_n）=0称为等式约束条件。

用向量X=（x₁，x₂，…，x_n）^T表示设计变量，X∈Rⁿ表示向量X属于n维欧氏空间，用min、max表示极小化和极大化，s.t.表示“满足于”，m和P分别表示不等式约束和等式约束的个数。数学模型可写成以下向量形式：

minf（X）（X∈Rⁿ）

s.t.g_u（x₁，x₂，…，x_n）≤0（u=1，2，…，m）(www.xing528.com)

h_v（x₁，x₂，…，x_n）=0（v=1，2，…，P，P＜n）

由于工程设计的解一般都是实数解，故可省略X∈Rⁿ，将优化设计的数学模型简记为

minf（X）

s.t.g_u（x₁，x₂，…，x_n）≤0（u=1，2，…，m）

h_v（x₁，x₂，…，x_n）=0（v=1，2，…，P，P＜n）

当设计问题要求极大化目标函数f（X）时，只需要将目标函数改写为-f（X）即可，这是因为maxf（X）和min［-f（X）]具有相同的解。同样，当不等式约束条件中的不等号为“≥0”时，只要将不等式两端同乘以“-1”，即可得到“≤0”的一般形式。

最优化问题也称为数学规划问题，最优化问题根据数学模型中是否包含约束条件而分为无约束优化问题和约束优化问题；根据设计变量的多少可分为单变量优化问题和多变量优化问题；根据目标函数和约束函数的性质可分为线性规划问题和非线性规划问题。

当数学模型中的目标函数均为设计变量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线性规划问题。当目标函数和约束函数中至少有一个为非线性函数时，称此设计问题为非线性优化问题或非线性规划问题。

线性规划和非线性规划是数学规划的两个重要分支。生产计划和经济管理方面的问题一般属于线性规划问题，而工程设计问题则属于非线性规划问题。