局部最优解和全域最优解的比较

对无约束最优化问题，当目标函数不是单峰函数时，有多个极值点X^*（1），X^*（2），…，如图2-3所示。此时，X^*（1）和f（X^*（1））、X^*（2）和f（X^*（2））均称为局部最优解。如其中X^*（1）的目标函数值f（X^*（1））是全区域中所有局部最优解中的最小者，则称X^*（1）和f（X^*（1））为全域最优解。

对于约束最优化问题，情况更为复杂，它不仅与目标函数的性质有关，还与约束条件及其函数性质有关。如图2-4所示，将目标函数f（X）的等值线绘于图上，由两个不等式约束g₁（X）≥0、g₂（X）≥0构成两个可行域D₁和D₂。X^*（1）、X^*（2）、X^*（3）分别是可行域内在某一邻域目标函数值最小的点，都是局部极小点，亦即X^*（1）、f（X^*（1）），X^*（2）、f（X^*（2）），X^*（3）、f（X^*（3））均称为局部最优解。由于f（X^*（1））＜f（X^*（2））＜f（X^*（3）），可知X^*（3）为全域极小点，亦即X^*（3）和f（X^*（3））为全域最优解。

优化设计总是期望得到全域最优解，但目前的优化方法只能求出局部最优解，并采取对各局部最优解的函数值加以比较，取其中最小的一个作为全域最优解。

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图2-3 无约束优化的全域和局部最优解

图2-4 约束优化的全域和局部最优解