例5-5 求约束优化问题
minf（X）=x21+x2
s.t.g1（X）=x21+x22-9≤0
g2（X）=x1+x2-1≤0
的最优解。
解：用随机方向法程序在计算机上运行，共迭代13次，求得的约束最优解为X*=（-0.002，-3.0）T，f（X*）=-3，计算机计算的结果摘录于表5-1，该问题的图解示于图5-30。
图5-30 例5-5图解
表5-1 例5-5的计算结果
例5-6 用复合形法求约束优化问题
minf（X）=（x1-5）2+4（x2-6）2
s.t.g1（X）=64-x21-x22≤0
g2（X）=x2-x1-10≤0
g3（X）=x1-10≤0
的最优解。
解：用复合形法程序在计算机上运行，共迭代67次。求得的约束最优解为X*=（5.219756.06253）T，f（X*）=0.06393，计算机计算的结果摘录于表5-2，该问题的图解示于图5-31。
图5-31 例5-6图解
表5-2 例5-6的计算结果
（续）
图5-32 例5-7图解
例5-7 用可行方向法求约束优化问题
minf（X）=60-10x1-4x2+x21+x22-x1x2
s.t.g1（X）=-x1≤0
g2（X）=-x2≤0
g3（X）=x1-6≤0
g4（X）=x2-8≤0
g5（X）=x2+x1-11≤0
的约束最优解。
解：为了迸一步说明可行方向法的原理，求解时将先采用优选方向法，后采用梯度投影法来确定可行方向。该问题的图解如图5-32所示。
取初始点X（0）=（0，1）T为约束边界g1（X）=0上的一点。第一次迭代用优选方向法确定可行方向。为此，首先计算X（0）点的目标函数f（X（0））和约束函数g1（X（0））的梯度：
为在可行下降扇形区内寻找最优方向，需求解一个以可行方向S=（S1，S2）T为设计变量的线性规划问题，其数学模型为
min［▽f（X（0））]TS=11S1-2S2(www.xing528.com)
s.t.［▽g1（X（0））]TS=-S1≤0
［▽f（X（0））]TS=11S1-2S2≤0
S21+S22≤1现用图解法求解，如图5-33所示，最优方向是S*=（0.984，0.179）T，它是目标函数等值线（直线束）和约束函数S21+S22=1（半径为1的圆）的切点。第一次迭代的可行方向为S（0）=S*，若步长取α（0）=6.098，则
图5-33 用线性规划法求最优方向
可见第一次迭代点X（1）在约束边界g3（X（1））=0上。
第二次迭代用梯度投影法来确定可行方向。迭代点X（1）的目标函数负梯度-▽f（X（1））=（0.092，5.816）T不满足方向的可行条件。现将-▽f（X（1））投影到约束边界g3（X）=0上，按式（5-29）计算投影算子
本次迭代的可行方向为
显然，S（1）为沿约束边界g3（X）=0的方向。若取α（1）=2.909，则本次迭代点
即为该问题的约束最优点X*，则得约束最优解
。
例5-8 试用混合罚函数法求点集A（x1，x2，x3）和点集B（x4，x5，x6）之间的最短距离。限制条件为
x21+x22+x23≤5
（x4-3）2+x25≤1
4≤x6≤8
分析由图5-34可知x21+x22+x23≤5表示以原点为球心、半径为5的球体，点集A（x1，x2，x3）在球面上取点。（x4-3）2+x25≤1，4≤x6≤8表示一圆柱体，点集B（x4，x5，x6）在圆柱面上取点。因此该问题就是求这两个几何体间的最短距离的约束优化问题，其数学模型为
图5-34 例5-8图解
minf（X）=（x1-x4）2+（x2-x5）2+（x3-x6）2
s.t.g1（X）=x21+x22+x23-5≤0
g2（X）=（x4-3）2+x25-1≤0
g3（X）=x6-8≤0
g4（X）=4-x6≤0
解：用混合法程序计算时，取X（0）=（1，1，1，3，1，5）T，R（0）=1，c=0.2在计算机上运行，共迭代13次，求得的最优解为X*=（1.0015，-0.0035，1.999，2.0，0.0077，4.07）T，f（X*）=5.008。和理论解X*=（1，0，2，2，0，4）T，f（X*）=5比较，误差很小。
例5-9 用增广乘子法求问题
的约束最优解。
解：这个问题的精确解为X*=（0.25，0.75）T，f（X*）=0.125。相应的乘子向量为λ*=0.25。
按式（5-57）构造增广乘子函数
用解析法求M（X，λ，R），即令▽M（X，λ，R）=0可得最优解
取R（0）=0.1，β=2，λ（0）=0，X（0）=（0.0714，0.2142）T，共迭代6次得到最优解：X*=（0.2499，0.7499）T，f（X*）=0.125，和精确解相比，误差很小。
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