参数检验的重要性：了解t检验

假设检验分成参数检验和非参数检验，如果对总体的统计特性有一定了解，在这种前提下做假设检验称为参数检验；否则称为非参数检验。最基本的总体的统计特征是分布，其次是分布涉及的参数。在参数检验中，绝大多数情况是假定总体服从正态分布N（μ，σ2），而其中的均值μ和方差σ可以知道也可以不知道。

所谓t检验是利用t分布进行的检验。t分布是英国人戈塞特（Gosset）在1908年提出的，当时他用笔名Student（学生）发表论文，提出t分布，因此后人就称它为“学生氏分布”，又因为他用的统计量记号是t，为了简便人们将这个分布称为t分布。t分布带有一个参数n，代表样本的容量，即样本集中元素的个数。戈塞特证明了t（n）的密度函数fn（x）如下。

其中的Γ（·）是Γ函数，它的表达式在一般数学手册上可以查到。要按照密度公式计算t分布的值非常复杂，人们总是通过软件或者查表得到t分布的值。图2-34给出不同n的fn（x）曲线，图中的平均值等于0。它们与标准正态分布的密度有点相似，但是相对平坦，当n＞30时，fn（x）和标准正态分布的密度很接近了。

图2-34　t分布趋近于正态分布的过程

定理　（t检验基本定理Ⅰ）设总体服从正态分布N（μ，σ2），从总体独立抽取样本X1，X2，…，Xn，记和S分别是样本均值和标准差，那么

定理　（t检验基本定理Ⅱ）设有两个总体X，Y分别服从正态分布和，从X中独立抽取样本X1，X2，…，Xn，从Y中独立抽取样本Y1，Y2，…，Ym，记和S1，S2分别是两个样本均值和标准差，那么

（1）

（2）当时，

其中。

在第二个定理的第二个结论中，我们只要知道两个分布的方差相等，而不需要知道它们等于几。

这两个定理在下面的假设检验中扮演了重要角色，这里先给出一个例子来说明如何应用这些定理。

例1　设总体X服从N（3.4，62），X1，X2，…，Xn是一个样本，如果要求样本均值满足P（1.4＜＜5.4）≥0.95，问n应该是几？

解：我们需要用到一个事实，这个事实在今后很有用。如果X～N（μ，σ2），那么有n个样本的样本均值。所以在本题中，要求1.4＜，就是，这等价于。

根据正态分布的标准化，可得，就是，从3σ准则可看出（图2-32）是充分的，因此，就是n≥36。

我们从这个例子给出两个注释：首先n≥36未必一定能够保证，我们只是说当样本容量不小于36时，有95%的可能样本均值在区间［1.4，5.4］中；其次概率条件可以导出自变量的一个不等式。当不等号右面不是0.95时，我们可以从正态分布表查出对应的不等式。由概率条件导出变量条件是解决概率问题的基本途径。

例2　设某航空公司从上海到北京航班误点时间X满足正态分布，统计资料显示，2010年前平均误点时间为31.4分钟。从2016年的记录中随机抽取20个该航空公司从上海到北京航班误点情况，计算得到平均误点时间为33.0分钟，标准差为3分钟。问与2010年前情况相比，该航空公司从上海到北京航班误点情况是否有显著变化（取α＝0.01）？

解：这是一个典型的由样本判断总体均值的题目，已知样本均值与标准差，要求分析总体的均值。题目给出显著性水平为0.01。

设μ为2016年的平均误点时间，建立检验假设如下。

H0：μ＝31.4，H1：μ≠31.4。

根据定理1，构造统计量（式（2-12））(www.xing528.com)

其中取零假设为真，即μ＝31.4，根据题目有S＝3，n＝20。这是一个双侧检验问题，要求

从参数为19的t分布表上查到P（2.861）＝0.01，因此t0.005（19）＝2.861，从而拒绝域为|T|≥2.861。计算当前的T值：

应该接受零假设，即航班误点情况没有显著变化。

t检验是统计分析中最常用的检验方法之一，它有以下两个特点：首先是要求总体服从正态分布；其次是样本容量较小（n＜30），这就决定了t检验适用于小规模抽样统计中。通过科学抽取少量样本，在运算步骤正确的前提下，可以快速且较为准确地得到设想假设的结果，可以说是十分方便且高效的检验方法之一。

本节介绍的t检验在一个总体或两个总体情况下都可以采用，例2给出的是一个总体情况，下面会进一步讨论t检验在两个总体情况下的应用。

思考：如果希望尝试定理2，可以在假设A、B两个班级方差相等的前提下，用本节开始给出的各抽取5名同学的检测结果来比较它们的水平是否相等（取α＝0.05）？

解：根据题目我们可知，且

A班：n＝5，

B班：m＝5，

设A班总体均值为μA，B班为μB，建立检验假设如下

H0：μA＝μB，H1：μA≠μB

根据定理2，构造统计量

其中取零假设H0为真，0.632代入公式得

T≈-0.25～t（8）

这是一个双侧检验问题，要求

从参数为8的t分布表上查到P（2.897）＝0.05，因此t0.005（8）＝2.897，从而拒绝域为|T|≥2.897。则：

|T|≈0.25＜2.897

应该接受零假设，即A、B班水平相当。

从参数为19的t分布表上查到P（2.861）＝0.01，因此t0.005（19）＝2.861，从而拒绝域为|T|≥2.861，计算当前的T值。