立体表面展开法——以正圆锥为例

将金属板壳构件的表面全部或局部按其实际形状和大小依次铺平在同一平面上，称为构件表面展开，如图2-38所示，简称展开。构件表面展开后构成的平面图形称为展开图。

作展开图的方法通常有作图法和计算法两种，目前工厂多采用作图法展开。但是随着计算技术的发展和计算机的广泛应用，计算法展开在工厂的应用也日益增多。

图2-38 展开图

1.立体表面成形分析

研究金属板壳构件的展开，先要熟悉立体表面的成形过程，分析立体表面形状特征，从而确定立体表面能否展开及采用什么方式展开。

任何立体表面都可看作是由线（直线或曲线）按一定的要求运动而形成。这种运动着的线，被称为母线。控制母线运动的线或面，被称为导线或导面。母线在立体表面上的任一位置叫做素线。因此，也可以说立体表面是由无数条素线构成的。从这个意义上讲，表面展开就是将立体表面素线按一定的规律铺展到平面上。所以，研究立体表面的展开，必须了解立体表面素线的分布规律。

（1）直纹表面 以直线为母线而形成的表面，称为直纹表面，如柱面、锥面等。

1）柱面直母线AB沿导线BMN运动，且保持相互平行，这样形成的面称为柱面如图2-39a所示。当柱面的导线为折线时，称为棱柱面如图2-39b所示。当柱面的导线为圆且与母线垂直时，称为正圆柱面。

柱面有如下性质：

①所有素线相互平行。

②用相互平行的平面截切柱面时，其断面图形相同。

图2-39 柱面

a）柱面 b）棱柱面

2）锥面直母线AS沿导线AMN运动，且母线始终通过定点S，这样形成的面称为锥面，定点S称为锥顶，如图2-40a所示。

当锥面的导线为折线时，称为棱锥面，如图2-40b所示。

当锥面导线为圆且垂直于中轴线时，称为正圆锥面，如图2-40c所示。

图2-40 锥面

a）锥面 b）棱锥面 c）正圆锥面

锥面有如下特征：

①所有素线相交于一点。

②用相互平行的平面截切锥面时，其断面图形相似。

③过锥顶的截交线为直线。

3）切线面直母线沿导线CMN运动，且始终与导线相切，这样形成的面称为切线面，其导线称为脊线，如图2-41a所示。

切线面的一个重要特征是同一素线上各点有相同的切平面。切线面上相邻的两条素线一般既不平行也不相交，但当导线上两点的距离趋近于零时，相邻的两条切线便趋向同一个平面，也就是切平面。

柱面和锥面也符合上述特征，因此它们是切线面的一种特殊形式（即脊线化为一点的切线面）。需要说明的是，像图2-41a所示那样明显的带有脊线的切线面并不常见，在工程上常用的是它的转化形式。图2-41b所示的曲面MAA₁M₁是以圆柱螺旋线NMQ为导线的切线面的一部分。

（2）曲纹面 以曲线为母线，并作曲线运动而形成的面称为曲纹面，如圆球面、椭球面和圆环面等。曲纹面通常具有双重曲度。

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图2-41 切线面

a）带脊线的切线面 b）以圆柱螺旋线为导线的切线面

2.可展表面与不可展表面

就可展性而言，立体表面可分为可展表面和不可展表面。立体表面的可展性分析是展开放样中的一个重要问题。

（1）可展表面 立体的表面若能全部平整地摊平在一个平面上，而不发生撕裂或褶折，称为可展表面。可展表面相邻两素线应能构成一个平面。柱面和锥面相邻两素线平行或是相交，总可构成平面，故是可展表面。切线面在相邻两条素线无限接近的情况下，也可构成一微小的平面，因此亦可视为可展。此外，还可以这样认为：凡是在连续的滚动中以直素线与平行面相切的立体表面，都是可展的。

（2）不可展表面 如果立体表面不能自然平整地摊平在一个平面上，称为不可展表面。圆球等曲纹面上不存在直素线，故不可展。螺旋面等扭曲面虽然由直素线构成，但相邻两素线是异面直线，因而也是不可展表面。

3.展开的基本方法

展开的基本方法有平行线法、放射线法和三角形法三种。这三种方法的共同特点是：先按立体表面的性质，用直素线把待展表面分割成许多小平面，用这些小平面去逼近立体表面；然后求出这些小平面的实形，并依次画在平面上，从而构成立体表面的展开图。这一过程可以形象地比喻为“化整为零”和“积零为整”两个阶段。

（1）平行线展开法 平行线展开法主要用于表面素线相互平行的立体。首先将立体表面用其相互平行的素线分割为若干平面，展开时就以这些相互平行的素线为骨架，依次做出每个平面的实形，以构成展开图。下面以圆管件为例，说明作图的方法。

例15 作斜切圆管的展开

如图2-42所示。画出斜切圆管的主视图和俯视图。八等分俯视图圆周，等分点为1、2、3……。由各等分点向主视图引素线，得与上口交点为1′、2′、3′……。则相邻两素线组成一个小梯形，每个小梯形近似一个小平面。延长主视图的下口线作为展开的基准线，将圆管正截面（即俯视图）的圆周展开在延长线上，得1、2、3、…、1各点。过基准线上各分点引上垂线（即为圆管素线），与主视图1′～5′各点向右所引水平线相交，对应交点连接成光滑曲线，即为展开图。

图2-42 斜切圆管的展开

（2）放射线展开法 放射线展开法适用于表面素线相交于一点的锥体。展开时，将锥体表面用呈放射形的素线分割成共顶的若干小三角形平面，求出其实际大小后，以这些放射形素线为骨架，依次将它们画在同一平面上，即得所求锥体表面的展开图。现以正圆锥为例，说明其作图的方法。

例16 正圆锥的展开

正圆锥的特点是表面所有素线长度相等，圆锥母线为它们的实长线，展开图为一个扇形。

图2-43 正圆锥的展开

a）等分作图 b）展开图

展开时，先画出圆锥的主视图和锥底断面图，并将锥底断面半圆周分为若干等份。过等分点向圆锥底口引垂线即得交点，由底口线上各交点向锥顶S连素线，即将圆锥面划分为12个三角形小平面，如图2-43a所示。再以S为圆心、S—7长为半径画圆弧等于底断面圆周长，连接1、1于S，即得所求展开图，如图2-43b所示。若将展开图圆弧上各分点与S连接，便是圆锥表面素线在展开图上的位置。

（3）三角形展开法 三角形展开法是以立体表面素线（棱线）为主，并画出必要的辅助线，将立体表面分割成一定数量的三角形平面，然后求出每个三角形的实形，并依次画在平面上，从而得到整个立体表面的展开图。

三角形展开法适用于各类形体，只是精确程度有所不同。

例17 正四棱锥筒的展开

如图2-44所示，画出四棱锥筒的主视图和俯视图。在俯视图中依次连出各面的对角线1—6、2—7、3—8、4—5，并求出它们在主视图的对应位置，则锥筒侧面被划分为8个三角形。

由主、俯两视图可知，锥筒的上口、下口各线在视图中反映实长，而4个棱线及对角线不反映实长，可用直角三角形法求其实长（见实长图）。

利用各线实长，以视图上已划定的排列顺序，依次作出各三角形的实形，即为四棱锥筒的展开图。

图2-44 正四棱锥筒的展开