计算实例和优化设计的数学模型

例16-7 要求设计一个内燃机用气门弹簧，工作载荷F=680N，工作行程h=16.59mm，工作频率f_r=25Hz，要求工作寿命N≥10⁶循环次数。弹簧丝材料采用50CrVA，许用应力[τ]=450MPa。如图16-16所示弹簧的结构要求：弹簧丝直径2.5mm≤d≤9mm，弹簧外径30mm≤D≤60mm，工作圈数3≤n≤6，支承圈数n₂=1.8（采用YI型端部结构），弹簧指数C≥6，弹簧压并高度λ_b=1.1h=18.25mm。试在满足弹簧的强度条件、刚度条件、稳定性条件、旋绕比条件和结构尺寸边界条件等约束条件下，确定弹簧的弹簧丝直径d、中径D₂和工作圈数n等三个设计参数，使它质量最轻、自由高度最小和自振频率最高。

有关设计资料：弹簧钢的材料密度ρ=7.5×10^-6kg/mm³，循环次数N≥10³时弹簧的曲度系数K=1.6/C^0.14，重力加速度g=9.80665m/s²。

由于需要同时考虑结构质量最轻、弹簧自由高度最小和自振频率最高三个设计目标，所以属于多目标优化问题。

图16-16 圆柱螺旋弹簧的结构参数

1.确定设计变量

按照题意取弹簧丝直径d、中径D₂和工作圈数n三个独立设计参数为设计变量

2.建立分目标函数

1）弹簧的结构质量最轻

f₁（X）=1.8148×10^-4x²₁x₂（x₃+1.8）(www.xing528.com)

2）弹簧的自由高度最小

f₂（X）=x₁（x₃+1.3）+18.25

3）弹簧的自振频率最高（取其倒数作为分目标函数，追求它的最小）

f₃（X）=f_r^-1=2.809×10^-6x²₂x₃/x₁

为了使三个分目标函数有相同的数量级，对它们进行换算

式中，是各个分目标函数的实际值；和分别是各个分目标函数的理想值和非理想值，当时，换算值；当．时，换算值

3.建立约束条件

其中，前面5个是性能约束条件，后面6个是边界约束条件。这是一个有11个约束条件的三维非线性3目标优化设计问题。