电阻的串并联及其计算方法

1.等效网络的定义

一个二端网络的端口电压、电流关系和另一个二端网络的端口电压、电流关系相同，这两个网络叫做等效网络（见图1-10）。

2.电阻的串联

（1）电阻的串联及分压关系

在电路中，几个电阻的首尾依次相连，中间没有分支的连接方式，叫做电阻的串联。图1-11所示即为两个电阻的串联电路。

图1-10 二端网络

图1-11 电阻串联电路

串联电路的基本特征

①在电阻串联电路中，不论各电阻的数值是否相等，通过各电阻的电流为同一电流，这是判断电阻串联的一个重要依据，即

I=I₁=I₂ （1-6）

②根据全电路欧姆定律，串联电阻电路两端的总电压等于各电阻两端分电压之和，即

U=U₁+U₂ （1-7）

上式表示串联电阻电路的总电压大于任何一个分电压。

③串联电阻的总电阻（等效电阻）等于各串联电阻之和，因为U=U₁+U₂，即IR=I₁R₁+I₂R₂，而I=I₁=I₂所以

R=R₁+R₂ （1-8）

式（1-8）表示串联电阻电路的总电阻大于任何一个分电阻。

电阻串联电路中，各电阻上的电压与它们的阻值成正比，根据欧姆定律：，且所以，得

式（1-9）表明电阻串联时，电阻越大，分配到的电压越大，电阻越小，分配到的电压越小，这就是串联电阻电路的分压原理。通常把式（1-9）叫做电阻串联的分压公式。

串联电阻电路的总功率P等于消耗在各串联电阻上的功率之和，且电阻值大者消耗的功率大。

由于P=I²R=I²（R₁+R₂）=I²R₁+I²R₂，所以

P=P₁+P₂ （1-10）

【例1-2】有一盏灯，额定电压U₁=40V，正常工作时通过的电流I=5A，应该怎样把它连入U=220V的照明电路中？

解：直接把灯连入照明电路是不行的，因为照明电路的电压比灯额定电压高得多，由于串联电路的总电压等于各个导体上的电压之和，因此，可以在灯上串联一个适当的电阻R₂，分掉多余的电压，如图1-12所示。

图1-12 电路中串联电阻

则U₂=U-U₁=220V-40V=180V

R₂与灯R₁串联，灯正常工作时，R₂通过的电流为5A。

所以R₂=（180÷5）Ω=36Ω

【例1-3】有两台直流电动机，电动机绕组的额定电流都是10A，电动机电阻为1Ω，电源电压为220V，因工作需要，两台电动机必须同时起动。起动电流应限制在额定电流1.5～2.5倍。因此应加装电阻以限制起动电流。现有5Ω、10Ω两个电阻，试问用哪个电阻串联？

解：设R₁、R₂为两台电动机电阻，R₃=5Ω，R₄=10Ω

先求R₁、R₂的等效电阻R：

若直接起动电动机，则起动电流为

起动电流大大超过电动机的额定电流，直接起动必然烧毁电动机。如果选择R₄串联限流，其起动电流：

此时起动电流为电动机额定电流的1.05倍，可能造成起动困难。因此，以串联5Ω电阻为宜，起动后将电阻退出，保证电动机正常运转。

（2）串联电路的应用

1）获得大阻值电阻

通过串联可以获得高阻值电阻，这在电工及电子技术应用较为广泛。

2）限流

在某些电路中，通过串入电阻限制电流的大小，保证电路正常运行。如直流电流机起动时，为了避免较大的起动电流损坏设备，将电阻串入起动电路，即可限制其起动电流。

3）分压

电阻分压器如图1-13所示。在电路中，若输入电压太高时，多采用串联电阻，从恰当的连接点分出部分较低的电压供电路使用。其分压的大小，可用式（1-9）的分压公式进行计算。

图1-13 电阻分压器

（3）扩大电压表的量程

电压表由一只高灵敏度的电流表（又称表头）和串联电阻构成。串联电阻越大，该电压表量程越大。

【例1-4】如图1-14所示电流表，其内阻r_g=1000Ω，量程I_g=100μA，如果要将其改装成量程为5V的电压表，问应串联多大的电阻R？

图1-14 单量程电压表

解：电流表测量的最大电压U_g=r_g^Ig=1000Ω×（100×10^-6）A=0.1V

要改装成量程为5V的电压表，即U=5V，根据分压公式：(www.xing528.com)

解得 R=49000Ω=49kΩ

所要串联的电阻为49kΩ。

3.电阻并联电路及电流分配关系

在电路中，将若干个电阻的一端共同连在电路的一点上，把它们的另一端共同连在电路的另一点上，这种连接方式叫做电阻的并联。如图1-15a所示为两个电阻的并联电路，图1-15b所示是其等效电路。

图1-15 电阻并联电路

（1）电阻并联电路的基本特征

①加在各并联电阻两端的电压为同一电压，即电阻两端电压相等，即

U=U₁=U₂ （1-11）

②电路的总电流等于各并联电阻分电流之和，即

I=I₁+I₂ （1-12）

如图1-15a所示，由于形成电流的运动电荷不会在电路中停留，所以流入A点的总电流，始终等于从B点流出的电流（即各支路电流之和）。这个结论可以用电流表测量总电流和各支路电流的大小予以验证。式（1-12）说明并联电路的总电流大于任何一个分电流。

③电路的总电阻（等效电阻）R的倒数等于各电阻的倒数之和，即

式（1-13）表示并联电路的总电阻比任何一个并联电阻的阻值都小。

式（1-13）可根据欧姆定律求出：

因为I=I₁+I₂所以即通常记为

流过各并联电阻上的电流与其阻值成反比。根据欧姆定律，有U₁=R₁I₁，U₂=R₂I₂，

又U₁=U₂=U，所以R₁I₁=R₂I₂=RI，有

上式表明电阻并联时，阻值越大的电阻分配到的电流越小，阻值越小的电阻分配到的电流越大，这就是并联电阻电路的分流原理。通常把式（1-15）叫做电阻并联的分流公式。

并联电阻电路的总功率P等于消耗在各并联电阻上的功率之和，且电阻值大者消耗的功率小。

由于P=IU=（I₁+I₂）U

又U₁=U₂=U

所以P=P₁+P₂ （1-16）

【例1-5】如图1-16所示，电路中电压为220V，每根输电导线的电阻R₁=1Ω，电路中并联了10盏220V、40W的电灯。求10盏灯都打开时，每盏灯的电压和功率。

图1-16 例1-5图

解：每盏灯的电阻

10盏灯的并联的电阻R_并=R÷10=121Ω

电路中的总电阻R_总=R_并+2R₁=（121+2）Ω=123Ω

电路中的总电流I=U/R_总=（220/123）A≈1.8A

输电导线上的总电压U_r=2R₁I=（2×1×1.8）V=3.6V

电灯上的电压U_L=U-U_r=（220-3.6）V≈216V

每盏灯的功率

（2）并联电路的应用

1）获得小阻值电阻

在电器维修中，如果一时没有小阻值电阻时，可通过电阻并联获得。

2）增大电路电流和功率

在某些电流和功率要求较大的电路中，可通过电阻的串、并联组合，增大电阻所承受的电流和功率。

3）分流

利用并联电路分流作用，可在某支路上获得电流，所需电流可通过分流公式计算。

4）扩大电流表的量程

如前所述，电流表表头是一只高灵敏度的电流表，它的满刻度电流多在微安级，要用它测量较大电流，必须给它并联阻值很小的分流电阻，使测量电路的大部分电流从分流电阻通过，只有很小的电流通过表头，即可实现扩大电流表量程。

图1-17 单量程电流表

【例1-6】有一微安表如图1-17所示，电阻r_g=1000Ω，满偏电流I_g=100μA，现要改装成量程为1A的电流表，应并联多大的分流电阻R？

解：流过分流电阻的电流

I_R=I-I_g=（1-0.0001）A=0.9999A

分流电阻两端电压

U_R=U_g=I_gr_g=（0.0001×1000）V=0.1V

根据欧姆定律，分流电阻为

即应并联0.1Ω的分流电阻。