一阶RL电路响应分析

一个由直流电源、电阻和电感组成的动态电路如图3-33所示。

图3-33　一阶RL电路响应

在电路中，开关接在位置1已久，电路已处于稳态，电感相当于短路，，在t=0时刻，电路换路，开关接在位置2，外施激励直流电压源US加到RL串联电路中，。下面来分析电路中的响应iL。

根据KVL可以列出电路的电压方程，即

将和uR=RiL代入上式，得

式（3-35）是一阶微分方程，求解iL，得

令，τ是RL电路的时间常数。其中，电阻的单位是Ω，电感的单位是H，时间常数τ的单位就是s。

由式（3-36）得

根据uL=US-uR=US-RiL，可以求出电感电压为

电阻电压为

因为，式（3-37）可写为

（1）在式（3-40）中，如果电源电压US=0，则，即电感电流的稳态值为零。此时电路没有电源输入，这时电路的响应即为零输入响应。

（2）在式（3-40）中，如果U0=0，，即电感电流的初始值为零。此时电路的响应即为零状态响应。

（3）在式（3-40）中，如果iL（∞）≠iL（0+）≠0，即有电源的输入，同时电感电流的初始值又不为零，这时电路的响应即为全响应。

同样，RL电路的全响应也有两种分解方式，即

式（3-43）中，过渡过程中的电感电流也可以分解为稳态分量与暂态分量之和；式（3-44）第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。所以，过渡过程中的电感电流同样也可以分解为零输入响应与零状态响应之和，即

式（3-44）同样说明，一阶电路的全响应等于由电路的初始状态单独作用引起的零输入响应和由外施激励单独作用所引起的零状态响应之和，还是叠加定理的体现，与RC电路相同。

例3.9　在图3-34所示电路中，RL串联由直流电源供电。S开关在t=0时断开，设S断开前电路已处于稳定状态。已知US=200 V，R1=10Ω，L=0.5 H，R=40Ω，求换路后iL的响应。

图3-34　例3.9用图

解　换路前电路已处于稳态，电感用短路代替。由换路前的电路得

据换路定律，得

换路后的时间常数(www.xing528.com)

这是零输入响应，将iL（0+）和τ代入式（3-40）中，得

若分析电阻电压，则根据欧姆定律，得

电感电压为

例3.10　在图3-35所示电路中，已知US=100 V，R1= R2=4Ω，L=4 H，电路原已处于稳定状态。S开关在t=0时断开。求换路后iL（t），并绘出电流的变化曲线。

解　经分析这是全状态响应，运用叠加定理，分别确定零输入响应和零状态响应，最后将分响应叠加，如图3-36所示。

图3-35　例3.10用图

　图3-36　电流、电压的全响应变化曲线

① 零输入响应。换路前电路已处于稳态，电感用短路代替。由换路前的电路得

据换路定律，得

换路后的时间常数为

故电路的零输入响应为

② 零状态响应。若初始状态为零，则换路后在外施激励作用下电流iL从零按指数规律上升至稳态值，即

故电路的零状态响应为

③ 全响应。

含有电感线圈的电路断开时会在断开点产生很高的电压，甚至会将电感线圈的绝缘层击穿。为避免过电压造成的损坏，如图3-37（b）所示，在电感线圈（如继电器线圈、直流电机线圈）的两端反向并联一个二极管。这个二极管称为续流二极管。当开关S闭合时，二极管由于单向导电性，近似处于开路状态；当开关S打开时，电感线圈中存储的磁场能量将通过续流二极管释放掉，防止产生过电压。

图3-37　电感线圈应用实例

思考题

（1）线性动态电路的全响应等于-----------响应和----------响应的叠加。另一方面，全响应也可以分解为--------分量和--------分量。

（2）电容电压的全响应为。其中稳态分量为------------，暂态分量为------------；零输入响应为------------------，零状态响应为-----------------。

（3）时间常数的物理意义是------------；RC电路的时间常数τ=-----------；RL电路的时间常数τ=-----------。

（4）电容的初始电压越高是否放电的时间越长？如果想缩短电容放电时间，加快过渡过程，如何做？