正弦交流量相量表示

1.正弦交流量的相量表示

1）复数

（1）复数的概念。

数学中把形如a+ib的数叫做复数，通常用字母Z表示。其中i是虚数单位，即。在电路分析中，已经用i表示电流，故这里用j表示虚数单位。所以，电路中的复数表示为

式（4-15）通常称为复数的代数形式。

（2）复数的表示形式。

代数形式为

式中　a——复数的实部；

b——复数的虚部。

极坐标形式为

式中　r——复数的模；

θ——复数的辐角。

利用复数在复平面中的矢量表示，可以很容易地看出两种形式之间的转换关系，如图4-19所示。

图4-19　复数的矢量表示

代数形式转换为极坐标形式为

极坐标形式转换为代数形式为

（3）复数的运算。

设复数其运算规律如下。

① 复数的加减运算，有

复数相加减，等于实部和实部相加减、虚部和虚部相加减。复数的加减符合平行四边形法则，如图4-20所示。

② 复数的乘法，即

③ 复数的除法，即

两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加；两个复数相除，等于模相除，辐角相减。

（4）旋转因子。

模等于1的复数称为旋转因子。若设Z0是一个旋转因子，则。

一个复数Z乘以旋转因子，即

这说明，任何一个复数Z乘以旋转因子，相当于将该复数沿逆时针方向旋转φ角，如图4-21所示。

图4-20　复数的平行四边形法则

图4-21　一个复数乘以旋转因子

几个常用的旋转因子如下。

① ，复数Z乘以该旋转因子，相当于将复数沿逆时针方向旋转90°角。

② °，复数Z乘以该旋转因子，相当于将复数沿顺时针方向旋转90°角。

③ ，复数Z乘以该旋转因子，相当于将复数沿逆时针方向旋转180°角。

2）正弦交流量的相量表示

正弦交流电的相量表示法

一个正弦量用瞬时值表达式和波形图都能够完整、准确地表示。但是用这两种方法表示的正弦量在正弦交流电路的计算中非常烦琐。同时在一个正弦交流电路中，所有的电压和电流都是同频率的正弦量。因此，可以只考虑振幅值和初相这两个要素即可。基于这一点，引入相量表示法。相量表示法就是用复数表示正弦量的方法，是分析计算正弦交流电路的重要工具。

设u=Umsin（ωt+φ），其波形图如图4-22（b）所示，旋转矢量如图4-22（a），其矢量的长度取正弦电压u的振幅，在t=0时与正实轴的夹角是正弦电压u的初相位φ，旋转角速度取正弦电压u的角频率ω，这就表示了旋转矢量可以表示正弦量的三要素。同时，旋转矢量在虚轴上的投影值就是正弦电压u的瞬时值。这样，就可以用一个旋转矢量表示正弦量。(www.xing528.com)

图4-22　正弦量和旋转矢量

（a）旋转矢量；（b）波形图

在正弦交流电路中，各电压和电流都是同频率的正弦量，即每一个正弦量都有一个相同旋转角速度ω的旋转矢量。在同一旋转速度下，它们的相对速度是零，故任一时刻各旋转矢量的相对位置关系与初始时刻一样。因此，就用静止在各初始位置的矢量，即固定矢量来表示旋转矢量、表示正弦量。该固定矢量称为其对应正弦量的相量，如图4-23所示。

图4-23　相量图

复平面上的矢量是表示复数的，因而相量即是复数。为区别一般复数，相量在大写字母上方加一个圆点“· ”表示。比如该相量的有向线段的长为正弦电压u的振幅Um，相量与正实轴的夹角是正弦电压u的初相位φ，称为振幅相量，用表示，有

实际应用中，人们用到更多的是正弦量的有效值，所以也常用来对应一个正弦量，称之为有效值相量，用表示。如果不作特别指明，相量都是指有效值相量。

按照正弦量的大小和相位关系，用初始位置的有向线段画出的相量的图形，称为相量图，如图4-23所示。为简单起见，画正弦量的相量图时，可以不画出复平面，只画正实轴（极坐标系的极轴）。

例4.8　正弦量，确定所对应的振幅相量和有效值相量，并画出对应的相量图。

解　据式（4-19），振幅相量：

据式（4-20），有效值相量：

两个正弦量频率相同，可画在一个相量图（图4-24）中。

例4.9　已知两个工频正弦量的相量分别是，确定正弦量瞬时值表达式，并画出对应的相量图。

解　据式（4-3），有

据式（4-20），有

相量如图4-25所示。

图4-24　例4.8用图

图4-25　例4.9用图

【特别提示】

① 只有同频率的正弦量所对应的相量，才能画在同一个相量图上。

② 在电路计算中，可以根据正弦量直接写出与之对应的相量；反过来，从相量也可以写出对应的正弦量，但必须给出正弦量的角频率。因为相量没有反映正弦量的角频率，它只表示出了正弦量的两个要素。因此，正弦量和相量只是对应关系，不是相等关系。

2.基尔霍夫定律的相量表示

基尔霍夫定律是分析正弦交流电路的基本规律。相量法是分析正弦交流电路的基本方法。相量法的要点之一就是要把电压和电流写成相量形式，所以，应用的基尔霍夫定律也是相量形式。

1）KCL的相量形式

正弦交流电路中的基尔霍夫电流定律可以表述为：在集中参数电路中，任何时刻流入任一节点的各支路电流瞬时值的代数和恒等于流出该节点的各支路电流瞬时值的代数和。其数学表达式为

正弦交流电路中各电流都是与电源同频率的正弦量，因此，把这些同频率的正弦量用相量表示，即

它表示正弦交流电路中流入任一节点各支路电流相量和恒等于流出该节点的各支路电流相量和。

2）KVL的相量形式

正弦交流电路中的基尔霍夫电压定律可以表述为：任何时刻沿着电路中任一回路绕行一周，各段电压瞬时值的代数和恒等于零。其数学表达式为

因为在同一正弦交流电路中所有电压都是同频率的正弦量，所以，任何时刻沿着电路中任一回路绕行一周，各段电压相量和恒等于零，即

电压前的正、负号由其参考方向决定：参考方向与回路绕行方向一致的电压取“+”号，相反的电压取“-”号。

思考题

（1）写出下列正弦量对应的相量，并绘出相量图。

①；②。

（2）写出下列相量对应的工频正弦量的瞬时值表达式。

① ；② 。

（3）已知试写出计算u1+u2，并绘出相量图。