线性分组码的矩阵表示形式

线性码指信息码元和监督码元满足一组线性方程的码,式(8.9)就是这样的例子,现将它写成如下形式:

写成矩阵表达为

仍以(7,4)码为例,信息码元和监督码元都用a表示,a6a5a4a3为信息码元,a2a1a0为监督码元。写成矩阵形式为

称为监督矩阵,记为H。记为A T,A T为A的转置矩阵。记为0T,0T表示全零转置矩阵。

故

或

可见,第一,H矩阵的每一行表明了监督码元与信息码元的关系,H矩阵的行数就是监督码元的位数;第二,H矩阵中各列1和0组成的是检校子(校正子)S1,S2,S3的值,这些值可表明差错发生的位置;第三,这样规定的监督关系称为一致监督(典型监督),这是线性分组码的一个重要性质;第四,码组中的监督码元并不固定监督某位或几位信息码元,而是码组中的所有监督码元共同监督码组中所有的信息码元和监督码元。

发送序列A=(an-1 an-2…a1a0)在传输中受到干扰,引起差错,所以接收序列变为B=(bn-1bn-2…b1b0),这与A不完全相同。

B与A之差就是信道引入的差错序列。

其中

由此B看作是A与信道引入差错序列之和。

例如,A=(01101),E=10010,B=11111,接收序列的矩阵形式将是

或

S=(SrSr-1…S0),r是监督码元位数,S是校验子,用来判断差错信道,这样S=H T B=H T(A+E)因为

故

可见S序列只与E序列有关,在码的纠错能力之内一定的E序列必然对应于一定的S序列。(www.xing528.com)

例如,(7,4)码的一致监督关系按前述为

或

如果A=(0111100),传输中没有差错,得

若传输中发生一位差错,并假设它发生在第4位,E=(0001000),B=(0110100),则

S序列正与矩阵H中的第4列对应,因此立刻可判断差错发生在信息码元的第4位。

此外,对(7,4)码而言,a6a5a4a3四位信息码可根据三个线性方程求三位监督码元,写成另一种矩阵。

G称为生成矩阵。S给定了信息码a6a5a4a3,就可根据G求得监督码元和整个码组。信息码a6a5a4a3共有24=16种可能码组,根据G求得16种码组。

由矩阵相乘可知,[a6a5a4a3]G的结果是G中的列与[a6a5a4a3]中相对应的行进行相乘后逐位模2加的结果。例如,(a6a5a4a3)=(0111)的结果为

G中的每一行各是(7,4)码中的一个码组,所以每一行的码组称为生成码组。G中的任何二行,或三行,或四行的模2加必为一个码组。由于四位信息码有16个码组,所以至少要有四个独立码组作为G矩阵的四行,才能产生其他12个码组。

前面的监督矩阵H可由两部分组成,即P和Ir。

生成矩阵G也可分成两个组成部分Ik和Q。

两相比可见,H矩阵中P部分的第一行正好是G矩阵中Q部分的第一列,P的第二行正好是Q部分的第二列;P的第三行正好是Q部分的第三列。或者,P的第一列正好是Q的第一行,等等。

知道了H矩阵,把其中的P转90°,就可以求得G矩阵。

这表明生成矩阵与监督矩阵的关系为