稳定性概念及其重要性

稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。

图3-31 圆锥体的稳定性

根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

在本章3.2节的讨论中已经知道，系统的响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成。输入量只影响稳态响应项，而系统本身的结构和参数，决定系统的瞬态响应项。瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r（t）是有界的

∣r（t）∣＜∞，t≥0

则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。

一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，简称为BIBO稳定。

线性闭环系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即

则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式

来分析。这时，在任何初始条件下，若满足

则称系统（3-58）是稳定的。

为了决定系统的稳定性，可求出式（3-59）的解。由数学分析知道，式（3-59）的特征方程式为

ansn＋an－1sn－1＋⋯＋a1s＋a0＝0（3-61）

设上式有k个实根﹣pi（i＝1，2，⋯，k），r对共轭复数根（﹣σi±jωi）（i＝1，2，⋯，r）， k＋2r＝n，则齐次方程式（3-59）解的一般式为

式中系数Ai，Bi和Ci由初始条件决定。(www.xing528.com)

从式（3-62）可得出以下几点。

①若﹣pi＜0，﹣σi＜0（即极点都具有负实部），则式（3-60）成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定的。但由于存在复数根的ωi≠0，系统的运动是衰减振荡的；若ωi＝0，则系统的输出按指数曲线衰减。

②若﹣pi或﹣σi中有一个或一个以上是正数，则式（3-60）不满足。当t ∞时，c（t）将发散，系统是不稳定的。

③只要﹣pi中有一个为零，或﹣σi中有一个为零（即有一对虚根），则式（3-60）不满足。当t→∞时，系统输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态，这时系统处于稳定的临界状态。

总结上述，可以得出如下结论：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数，或具有负的实数部分。

由于系统特征方程式的根在根平面上是一个点，所以上述结论又可以这样说：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根，均在根平面的左半部分（见图3-32）。

图3-32 根平面

又由于系统特征方程式的根就是系统的极点，所以系统稳定的充分必要条件就是所有极点均位于S平面的左半部分。

表3-4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。

表3-4 系统稳定性的简单例子

续表

如果系统中每个部分都可用线性常系数微分方程描述，那么，当系统是稳定时，它在大偏差情况下也是稳定的。如果系统中有的元件或装置是非线性的，但经线性化处理后可用线性化方程来描述，则当系统是稳定时，我们只能说这个系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统仍是稳定的。

以上提出的判断系统稳定性的条件是根据系统特征方程根，假如特征方程根能求得，系统稳定性自然就可断定。但是，要解四次或更高次的特征方程式，是相当麻烦的，往往需要求助于数字计算机。所以，就有人提出了在不解特征方程式的情况下，求解特征方程根在S平面上分布的方法。下面就介绍常用的劳斯判据和赫尔维茨判据。