如何计算稳定裕度？

（1）计算稳定裕度的方法

通常有三种计算系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和Bode图法。下面通过实例进行说明。

①解析法 根据系统的开环频率特性，由式（5-66）和式（5-67）求出相角裕度；由式（5-68）和式（5-69）求出幅值裕度，如果幅值裕度用分贝数表示，则由式（5-70）求出。

例5-10 已知最小相位系统的开环传递函数为

图5-44 稳定裕度的比较

试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。

解 系统的开环频率特性为

其幅频特性和相频特性分别是

由式（5-65）令∣G（jω）H（jω）∣＝1得ωc＝1.82。

由式（5-66）得

由式（5-67）令

∠G（jω）H（jω）＝﹣180°得ωg＝5。

由式（5-69）得

②极坐标图法 在GH平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图，并作一单位圆，由单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角裕度γ；由开环频率特性与负实轴交点处的幅值∣G（jωg）H（jωg）∣的倒数得到幅值裕度Kg。

在上例中，先作出系统的开环频率特性曲线如图5-45所示，作单位圆交开环频率特性曲线于A点，连接OA与负实轴的夹角即为系统的相角裕度，γ≈80°。开环频率特性曲线与负实轴的交点坐标为（0.8，j0），由此得到系统的幅值裕度

③Bode图法 画出系统的Bode图，由开环对数幅频特性与零分贝线（即ω轴）的交点频率ωc，求出对应的相频率特性与﹣180°线的相移量，即为相角裕度γ。当ωc对应的相频特性位于﹣180°线上方时，γ＞0°，若ωc对应的相频特性位于﹣180°线下方，则γ＜0°。由相频率特性与﹣180°线的交点频率ωg求出对应幅频特性与零分贝线的差值，即为幅值裕度Kg的分贝数。当ωg对应的幅频特性位于零分贝线下方时，Kg（dB）＞0，若ωg对应的幅频特性位于零分贝线上方，则Kg（dB）＜0。

例5-10的Bode图如图5-46所示。从图中，可直接得到幅值穿越频率ωc≈2，相角穿越频率ωg＝5；相角裕度γ≈80°，幅值裕度Kg≈2dB。

图5-45 由极坐标图求相角裕度(www.xing528.com)

图5-46 例5-10题Bode图

比较上述三种解法不难发现，解析法比较精确，但计算步骤复杂，而且对于三阶以上的高阶系统，用解析法是很困难的。采用以极坐标图和Bode图为基础的图解法计算，避免了繁琐的计算，具有简便、直观的优点，对于高阶系统尤为方便。不过图解法是一种近似方法，所得结果有一定误差，误差的大小视作图的准确性而定。Bode图法和极坐标法虽然都是图解法，但前者不仅可直接从Bode图上获得相角裕度γ和幅值裕度Kg，而且还可直接得到相应的幅值穿越频率ωc和相位穿越频率ωg。同时作Bode图较极坐标图方便，因此在工程实践中得到更为广泛的应用。

（2）稳定裕度与系统的稳定性

前面已经介绍，求出系统的稳定裕度可以定量分析系统的稳定程度。下面通过两个示例进一步说明。

例5-11 已知系统的开环传递函数为

试分析稳定裕度与系统稳定性之间的关系。

解 该系统的开环频率特性的极坐标图分别如图5-47（a）（当T＞τ时）和图5-47（b）（当T＜τ）时）所示。由图5-47（a）可知，当T＞τ时，系统的相角裕度γ＜0°，由图5-47（b）可知，当T＜τ时，系统的相角裕度γ＞0°。系统的幅值裕度用解析法求解如下。

系统的幅频特性和相频特性分别为

令∠G（jω）H（jω）＝﹣180°则有，故ωg＝0（对应于S平面的坐标原点，舍去）或ωg＝∞（T≠τ），由此求出系统的幅值裕度为

图5-47 例5-11极坐标图

可见，当ωg＝∞，则Kg＝∞＞1。T＞τ时，γ＜0°，该系统不稳定；T＜τ时，γ＞0°，该系统是稳定的。

例5-12 已知非最小相位系统的开环传递函数为

图5-48 例5-12题极坐标图

试分析该系统的稳定性及其与系统稳定裕度之间的关系。

解 在K取某一定值时，系统的开环频率特性如图5-48所示。由于该系统有一个位于右半S平面的开环极点（P＝1），奈氏曲线逆时针包围（﹣1，j0）点一周（N＝1），根据奈氏判据，Z＝P－N，该系统为稳定系统。但由图解法求出该系统的相角裕度γ＞0°，幅值裕度Kg＜1，这说明以相角裕度γ＞0°和幅值裕度Kg＞1作为判别非最小相位系统稳定性的依据是不可靠的。

对于非最小相位系统，不能简单地用系统的相角裕度和幅值裕度的大小来判断系统的稳定性。而对于最小相位系统，相角裕度γ＞0°和幅值裕度Kg＞1（或Kg（dB）＞0），系统是稳定的。