离散控制系统的线性差分方程描述

作为一个动力学系统，离散控制系统在k时刻的输出y（kT）不仅与k时刻的输入r（kT）有关外，还与k时刻以前的输入，输出r（k－1），r（k－2）⋯y（k－1），y（k－2），⋯有关。为此，可以用后向差分方程来描述线性定常离散系统如下

y（k）＋a1y（k－1）＋＋any（k－n）＝b0r（k）＋b1r（k－1）＋⋯＋r（k－m）（7-47）

也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统

y（k＋n）＋a1y（k＋n－1）＋⋯＋an－1y（k＋1）＋any（k）＝b0r（k＋m）＋b1r（k＋m－1）＋＋bm－1r（k＋1）＋bmr（k）（7-48）

求解差分方程常用的有迭代法和Z变换法。前者适用于计算机数值解法，后者可求出解的解析式，下面予以介绍。

（1）迭代法

若已知线性定常离散控制系统的差分方程式（7-47）或式（7-48），并且给定输出序列初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步计算出输出序列。

例7-17 已知差分方程

y（k）＝r（k）＋5y（k－1）－6y（k－2）

输入序列r（k）＝1，k＝2，3，⋯初始条件为y（0）＝0，y（1）＝1，试用迭代法求输出序列y（k），k＝0，1，2，，10。

解 根据初始条件及递推关系，得

y（0）＝0

y（1）＝1

y（2）＝r（2）＋5y（1）－6y（0）＝6

y（3）＝r（3）＋5y（2）－6y（1）＝25

y（4）＝r（4）＋5y（3）－6y（2）＝90

y（5）＝r（5）＋5y（4）－6y（3）＝301

y（6）＝r（6）＋5y（5）－6y（4）＝966

y（7）＝r（7）＋5y（6）－6y（5）＝3025

y（8）＝r（8）＋5y（7）－6y（6）＝9330

y（9）＝r（9）＋5y（8）－6y（7）＝28501

y（10）＝r（10）＋5y（9）－6y（8）＝86526

（2）Z变换法

若已知线性定常离散控制系统的差分方程描述，可根据Z变换的实位移定理，对差分方程两边取Z变换，再根据初始条件及给定输入控制信号的Z变换表达式，可求取离散控制系统输出的Z变换表达式，再求输出Z变换的Z反变换表达式，即可求取离散控制系统输出的实域表达式y（k）。(www.xing528.com)

例7-18 已知离散系统的差分方程为

y[（k＋1）T]＋2y（kT）＝5kT

Y（0）＝﹣1，求差分方程的解。

解对差分方程取Z变换，得

又

所以

查Z变换表，有

例7-19 已知差分方程

y（k＋2）－3y（k＋1）＋2y（k）＝u（k）

式中 当k≤0，y（k）＝0；当k＞0或k＜0时，u（k）＝0；u（0）＝1。求解差分方程。

解 对差分方程取Z变换，有

z2Y（z）－z2y（0）－zy（1）－3zY（z）＋3zy（0）＋2Y（z）＝U（z）

用迭代法求初始值y（1）。

令k＝﹣2，代入差分方程，有

y（0）－3y（－1）＋2y（－2）＝u（－2）

所以y（0）＝0

令k＝﹣1，代入差分方程，有

y（1）－3y（0）＋2y（﹣1）＝u（﹣1）

所以y（1）＝0

又

所以

取Z反变换，求得

y（k）＝﹣1k－1＋2k－1 （k＝1，2，…）