离散方程解析技巧分享

对于求解域内所建立的偏微分方程，理论上是有真解（或称精确解或解析解）的。但由于所处理的问题自身的复杂性，一般很难获得方程的真解。因此，就需要通过数值方法把计算域内有限数量位置（网格节点或网格中心点）上的因变量当作基本未知量来处理，从而建立一组关于这些未知量的代数方程组，然后通过求解代数方程组来得到这些节点的值，而计算域内其他位置上的值则根据节点位置上的值来确定。

由于所引入的因变量在节点之间的分布假设及推导离散化过程的方法不同，就形成了有限差分法、有限元、有限体积法等不同类型的离散化方法。在同一种离散化方法中，对对流项所采用的离散格式不同，也将导致最终有不同形式的离散方程。

对于瞬态问题，除了在空间域上的离散外，还要涉及在时间域上的离散。

初始条件和边界条件是连续的，如入流口的风速为10m/s，需要针对所生成的网格，将连续型的初始条件和边界条件转化为特定节点上的值。如流动进口边界面上有200个节点，则这些节点上的速度值应均设为10m/s。

在离散空间上建立了离散化的代数方程组，并施加离散化的初始条件和边界条件后，还需要给定流体的物理参数和湍流模型的经验系数等。同时，还要给定迭代计算的控制精度等。

对于稳态问题的解，或是瞬态问题在某个特定时间步上的解，往往要通过多次迭代才能得到。有时，因网格形式或网格大小、对流项的离散差值格式等原因，可能导致解的发散。因此，在迭代求解过程中，要对解的收敛性随时进行监视，并在系统达到指定精度后，结束迭代过程。这部分内容属于经验性的，需要针对不同情况进行分析。如果没有收敛，那么得出的结果一般是没有任何参考价值的。因此，CFD模型的收敛性对于计算结果的精度和可信度起到决定性的作用^[43]。图3-7为Vestas自主开发的CFD模型的迭代过程。可见，在经过上千次迭代后，解才开始收敛，并稳定下来。(https://www.xing528.com)

图3-7 CFD模型模拟轮毂高度湍流强度的迭代过程，每条线代表一台风力发电机（图片由Vestas提供，为Vestas自主开发CFD模型）

对于基于CFD模型的风资源评估软件，能够让一组控制方程和参数、假设的边界和初始条件、网格划分方法及离散解析方法适用于及各种复杂的风场地理和气候条件，是问题的关键，因为这样才能达到风资源评估工程应用的要求。而判断解的收敛性，则是应用CFD模拟结果的前置任务。

测风塔的实测风数据作为一个网格节点的已知解，用来修正其他节点的计算结果。若在多个网格节点进行测风，通常可大幅提高模型计算结果的精确度和可信度。模型计算结果还可以与实测风数据进行对比，判断数值解的正确性。