非线性协整序列的描述

1.单整（Integration）的定义

对于一个不含确定性趋势的时间序列{yt}，若经过d阶差分后具有平稳可逆的ARMA形式，则称{yt}为d阶单整的，记为{yt}～I(d)。

例如，当一时间序列出现单位根过程，形如：

其中L为一阶滞后算子，并且有：

则称{yt}为一阶单整的，记为{yt}～I(1)。

2.协整（Cointegration）的定义

当同阶单整的多个时序变量间具有某种长期稳定关系，此时这些变量可以称为协整的。其一般性定义可表述为：(www.xing528.com)

对于一个(n×1)向量时间序列yt(y＝(y1,y2,…,yn)′)，若满足：

（1）yt的各分量序列{yi,t}均为I(d)，即yi,t～I(d)；

（2）存在非零的列向量α，使得α′yt～I(d－b)，0﹤b≤d，则称yt的各分量之间存在(d,b)阶协整关系，记作yt～CI(d,b)，向量α则称为yt的协整向量。

注意到满足条件的协整向量可能不是唯一的，假设有k（显然有k﹤n）个彼此线性无关的协整向量αi,i＝1,2,…,k，则这些向量构成一个协整矩阵，记作：A＝(α1,α2,…,αk)，且r(A)＝k。

特别地，如果每一个分量序列{yi,t}都是I(1)，即非平稳且含一个单位根，而各序列的线性组合α′yt是平稳的，即I(0)，α是某个非零向量，则称yt为(1,1)阶协整的。由于大多数经济变量序列都是I(1)的，因而很多研究都是基于d＝1展开的。