数学描述控制系统的方法

控制学是一门精确的定量化科学，要求用数学方法描述系统的状态、行为、性能，做出定量的结论，推导系统设计。建立和求解数学模型，通过对模型解的分析来把握系统的特性，是用控制学方法研究问题的基本目的。

控制学一般把系统看作是确定性的，在确定性的输入作用（原因）的激励下，系统以确定性的输出作用（结果）为响应。“输入-输出”观点在控制学中有非常重要的地位，贯穿在对控制的各种定义中。输入U（t）与输出Y（t）之间的激励响应关系

是控制系统最基本的特性。我们研究控制系统，重要的是了解在一定的输入作用下系统将有怎样的输出。为了得到预期的输出，应该选择怎样的输入作用。至于系统内部的具体过程（物理、生命或社会等的过程），对经典控制学并不重要。这就是著名的黑箱原理。一个物体或系统，如果无法打开，人们不能获得其内部结构和运行机制的信息，便称为黑箱。被称为黑箱的事物并非不可被研究和控制，黑箱也有其外部特征和参数可供观测，通过它们可以对其内部特性有所了解。输入和输出就是这种外部特征。输入一定的外部作用，测量并记录产生的输出响应，通过对输出数据、资料的分析来了解系统的行为特性，从而排除故障、实施控制的方法，都称为黑箱方法。医生治病、技师检查密封仪器，使用的都是这种方法。

从“输入-输出”观点看，控制系统是一种变换和传递信息的装置，其作用是对输入量进行变换，通过传递以得到输出量，激励响应特性就是这种变换和传递的特性。控制学中用于描述这种特性的定量概念，叫作传递函数，是由系统的输入量和输出量经过适当的数学处理（如Laplace变换：L［f（t）］=F（S）=）建立的。记W是系统的传递函数，U和Y是经过数学处理的输入与输出，则系统的激励响应关系可以表示为

输入乘以传递函数就是输出。由此得到传递函数的定义：

控制系统的运行都是动态过程，输入量U，输出量Y，状态量X，干扰量M都是时间t的函数，X对U，Y对U，或Y对M的响应都是动态响应，即经过一定的过渡过程才能建立起稳态响应特性。动态方程在时间域上描述系统，在数学处理上有其不便之处。经典控制论引入Laplace变换对动态方程进行处理，把传递函数、输入、输出均表示为复数S的函数W（S），U（S），Y（S），得到

传递函数是输出的Laplace变换除以输入的Laplace变换，或者写作

给定动力学方程，施行Laplace变换，用（3.4.4）可得传递函数。没有动力学方程，可以用实验方法获得传递函数。

经典控制理论研究的是工程系统的控制问题，这类系统的各个控制环节也是动态系统，可以根据力学或电磁学的原理建立它们的动态方程。从系统科学的角度看，这些控制环节可以归结为惯性环节、振荡环节，放大环节、积分环节、一阶微分环节、二阶微分环节等少数几类，动力学方程都比较简单。假设系统的组成环节已定，先建立各控制环节的动力学方程，施行Laplace变换，求得各环节的传递函数，再根据各环节的耦合方式，即可直接综合得到整个系统的传递函数。设开环控制系统由k个环节组成，传递函数分别为W1（S），W2（S），…，Wk（S），如图3.6所示。

图3.6　传递函数示意图

系统的传递函数为(www.xing528.com)

图3.7表示一个闭环系统，它的前向道路相当于一个开环系统，可按（3.4.6）得到传递函数。记作W1（S），反馈环节的传递函数记为W2（S）。

图3.7　一个闭环系统

由上图知，

E（S）=U（S）-W2（S）Y（S），

Y（S）=W1（S）E（S），

整理得

由此得到系统的传递函数：

建立系统的传递函数，分析传递函数的特性，是经典控制理论的基本方法，但基于黑箱原理的传递函数着眼于利用“输入-输出”关系来描述系统，而不考虑系统的内部状态，因而有很大的局限性。对于经典理论研究的单输入单输出的线性定常系统而言，这种方法足够有效，特别是用于研究系统的频率特性，当然，也可以用于处理某些简单的非线性系统。现代控制理论主要研究时变系统、复杂非线性系统、多输入多输出系统，我们在考察外部特性的同时，要全面描述系统的内部状态和特性，以及内部特性与外部特性之间的关系，还要处理各种随机因素。传递函数方法远不能满足这些要求，还需要使用状态空间方法，即同时用状态方程（向量形式）

和输出方程

来描述。读者可以参考相关书籍进行进一步的学习，这里不再介绍。