从高阶微分方程到状态空间描述

（1）输入信号不含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述

设单输入/单输出的控制系统的动态过程由下列n阶微分方程来描述

式中，y（n），y（n－1），⋯，，y为系统的输出信号（输出量）及其各阶导数，u为系统的输入信号（输入量）；a1，a2，⋯，an为常系数。

若已知初始条件y（0），，⋯，y（n－1）（0）及t≥0时刻的输入信号u（t），则系统在任何t≥0时刻的行为便可完全确定，所以可选取y（t）及y（t）的各阶导数作为状态变量，即状态变量x1（t），x2（t），⋯，xn（t）可取为

则式（9-11）可以改写为

将上式写成向量和矩阵的形式可得

式中

式中，x为n×1维列向量，A为n×n阶矩阵，B为n×1维列向量，C为1×n维行向量，u，y分别为系统的输入信号和输出信号。式（9-14）即为控制系统的状态空间描述，式中矩阵A的形式为可控标准型。图9-4给出了状态空间表达式的结构图。

图9-4 系统结构图

例9-3 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为

式中，u，y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。

解 选取状态变量为x1＝y，，则式（9-15）可改写成

将上式写成矩阵微分方程形式

上两式可写成如下标准形式

式中

式（9-16）即为所求的系统的状态空间描述。

（2）输入信号包含导数项的n阶微分方程系统的状态空间描述(www.xing528.com)

设控制系统由下列n阶微分方程来描述

这时，不能简单地把y，，⋯，y（n－1）选作状态变量，即不能采用上述的方法。因为化成一阶微分方程组

这样，最后一个方程中包含了输入信号u（t）的各阶导数，系统将得不到惟一解。在包含输入导数项的情况下，选择一组状态变量的原则是，应使导出的一阶微分方程组中，不能出现u（t）的导数项。为此，可选取以下n个变量作为一组状态变量

式（9-19）中

这样，就可以保证系统有惟一解。

式（9-19）可改写成

将上式改写成矩阵向量形式

其中

式（9-22）即为含有输入信号导数项的控制系统的状态空间描述（包括状态方程和输出方程）。

例9-4 设一控制系统的动态方程用微分方程表示为

试求该控制系统的状态空间描述。

解将式（9-23）对照式（9-17）可得，a1＝9，a2＝8，a3＝0，b0＝0，b1＝1，b2＝4，b3＝1。由式（9-20）可计算得

β0＝b0＝0，β1＝b1－a1β0＝1，

β2＝b2－a1β1－a2β0＝﹣5，β3＝b3－a1β2－a2β1－a3β0＝38

由式（9-22）可写出控制系统的状态空间描述为