微观运动状态描述：1.3.1系统

所谓系统的微观运动状态就是它的力学运动状态。这里限于讨论由全同和近独立粒子组成的系统。全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等等）的同类粒子组成的系统。近独立粒子组成的系统，是指系统中粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用，整个系统的能量为单个粒子的能量之和。理想气体就是由近独立粒子组成的系统。理想气体的分子，除了相互碰撞的瞬间，都可以认为没有相互作用。

1.经典力学系统的微观运动状态描述和玻耳兹曼系统

设粒子的自由度为r。在任一时刻，第i个粒子的力学运动状态由r个广义坐标q_i1，qi2，qi3，…，qir和r个广义动量pi1，pi2，pi3，…，pir的数值确定。当组成系统的N个粒子在某一时刻的力学运动状态都确定时，整个系统在该时刻的微观运动状态也就确定了。因此确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量，这2Nr个变量就是q_i1，q_i2，qi3，…，qir和pi1，pi2，pi3，…，pir（i=1，2，…，N）。在经典物理中，全同粒子是可以分辨的。这是因为，经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的。只要确定每一粒子在初始时刻的位置，原则上就可以确定每一粒子在其后任一时刻的位置。所以尽管全同粒子的属性完全相同，原则上仍然可以辨认。既然全同粒子可以分辨，如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，例如第i个粒子和第j个粒子的运动状态本来分别是（q₁′，q2′，q3′，…，qr′；p1′，p2′，p3′，…，pr′）和（q1″，q2″，q3″，…，qr″；p1″，p2″，p₃″，…，pr″），如果将它们的运动状态加以交换，使第i个粒子的运动状态为（q₁″，q₂″，q3″，…，qr″；p1″，p2″，p3″，…，pr″），第j个粒子的运动状态为（q1′，q2′，q₃′，…，qr′；p1′，p2′，p3′，…，pr′）。在交换前后，系统的力学运动状态是不同的。

一个粒子在某一时刻的力学运动状态可用_μ空间中的一个点表示。由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态可在_μ空间中用N个点表示。根据前面的讨论可知，如果交换两个代表点在_μ空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。在统计物理学发展的早期（远在量子力学建立以前），玻耳兹曼把粒子看作是可以分辨的，并导出了这种粒子的统计分布。现在我们把由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻耳兹曼系统。

2.量子系统微观运动状态的描述和玻色系统、费米系统

微观粒子全同性原理指出，全同粒子是不可分辨的，在含有多个全同粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系统的微观运动状态。这原理与经典物理关于全同粒子可以分辨的论断是完全不同的。导致完全不同的论断的根本原因是，经典粒子的运动是轨道运动，原则上可以跟踪经典粒子的运动而加以辨认，而量子粒子具有波粒二象性，它的运动不是轨道运动，原则上不可能跟踪量子粒子的运动。假设在t=0时确知两个粒子的位置，由于与这两个粒子相联系的波动迅速扩散而互相重叠，在t>0时在某一地点发现粒子时，已经不能辨认到底是第一个还是第二个粒子了。图1-22a、b示意地表示两个粒子遵从经典力学和量子力学的区别。

图1-22 全同粒子

a）经典力学的情景 b）量子力学的情景

假如全同粒子可以分辨，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态。对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。例如，确定He气的微观状态，归结为确定由每一组量子数n_x、n_y、n_z所表征的个体量子态上各有多少个He原子。

在讨论量子粒子怎样占据各个个体量子态时，还有一个原则问题必须给予考虑。自然界中微观粒子可分为两类，称为玻色子和费米子。在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的，例如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子；自旋量子数是整数的，例如光子自旋量子数为1，π介子自旋量子数为零，是玻色子。在原子核、原子和分子等复合粒子中，凡是由玻色子构成的复合粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。

由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利不相容原理。泡利不相容原理说，在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束。这就是说，由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。

3.玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别(www.xing528.com)

现在举一个简单的例子说明玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的区别。设系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个。现在考察，对于玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统各有哪些可能的微观状态。

玻耳兹曼系统，粒子可以分辨，每一个体量子态能够容纳的粒子数不受限制。以A、B表示可以分辨的两个粒子，它们占据3个个体量子态可以有以下的方式

因此，对于玻耳兹曼系统，可以有9个不同的状态。

玻色系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态所能容纳的粒子数不受限制，由于粒子不可分辨，令A=B。两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式

因此，对于玻色系统，可以有6个不同的状态。

费米系统，粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能容纳一个粒子。两个粒子占据3个个体量子态有以下的方式

因此，对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。

在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学，在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。微观粒子实际上遵从量子力学的运动规律。不过在一定的极限条件下，经典统计在一定条件下还是有意义的。