向量矩阵分析中的几个重要结论

本节将介绍在下一小节中将用到的凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理和最小多项式。

（1）凯莱-哈密尔顿（Caley-Hamilton）定理

在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。

考虑n×n维矩阵A及其特征方程

∣λI－A∣＝λn＋a1λn－1＋⋯＋an－1λ＋an＝0

凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即

An＋a1An－1＋⋯＋an－1A＋anI＝0（9-69）

为了证明此定理，注意到（λI－A）的伴随矩阵adj（λI－A）是λ的n－1次多项式，即

adj（λI－A）＝B1λn－1＋B2λn－2＋⋯＋Bn－1λ＋Bn

式中，B1＝I。由于

（λI－A）adj（λI－A）＝[adj（λI－A）]（λI－A）＝∣λI－A ∣I

可得

∣λI－A∣I＝λnI＋a1λn－1I＋⋯＋an－1λI＋anI＝（λI－A）（B1λn－1＋B2λn－2＋ ＋Bn－1λ＋Bn）＝（B1λn－1＋B2λn－2＋⋯＋Bn－1λ＋Bn）（λI－A）

从上式可看出，A和Bi（i＝1，2，⋯，n）相乘的次序是可交换的。因此，如果（λI－A）及其伴随矩阵adj（λI－A）中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用A代替λ，显然λI－A为零。这样(www.xing528.com)

An＋a1An－1＋⋯＋an－1A＋anI＝0

即证明了凯莱-哈密尔顿定理。

（2）最小多项式

按照凯莱-哈密尔顿定理，任一n×n维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的纯量方程。将矩阵A为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义n×n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式Φ（λ），即

Φ（λ）＝λm＋a1λm－1＋⋯＋am－1λ＋am，m≤n

使得Φ（A）＝0，或者

Φ（A）＝Am＋a1Am－1＋⋯＋am－1A＋amI＝0

最小多项式在n×n维矩阵多项式的计算中起着重要作用。

假设λ的多项式d（λ）是（λI－A）的伴随矩阵adj（λI－A）的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d（λ）的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式Φ（λ）由下式给出

注意，n×n维矩阵A的最小多项式Φ（λ）可按下列步骤求出：

①根据伴随矩阵adj（λI－A），写出作为λ的因式分解多项式的sdj（λI－A）的各元素；

②确定作为伴随矩阵adj（λI－A）各元素的最高公约式d（λ），选取d（λ）的λ最高阶次系数为1，如果不存在公约式，则d（λ）＝1；

③最小多项式Φ（λ）可由∣λI－A∣除以d（λ）得到。