解答：零输入响应中储能元件衰减时间的解析

3.1 什么叫线性电容？其两端电压与流过的电流有何关系？

答：储存的电荷q与其端电压u的比值呈线性关系的电容称为线性电容。线性电容的电容量为一常量，与其两端电压大小无关。

电容中的电流i_C与电容两端电压变化率呈线性关系，即。

3.2 试述电容端电压与电容电流的关系，其中“+”、“-”号如何取法？

答：电容端电压u_C（t）与电容电流i_C（t）的关系可有两种形式：

微分形式：

积分形式：

若iC和uC参考方向一致，取“+”号；若相反，取“-”号。

3.3 串联电阻可以实现分压，串联电容能否实现分压？

答：电容串联也能实现分压。但其分压不是与电容的大小成正比，而是与电容的大小成反比。即：。

3.4 什么叫线性电感？其两端电压与流过的电流有何关系？

答：元件交链的磁链ψ与其电流i的比值呈线性关系的电感称为线性电感。线性电感的电感量为一常量，与其流过的电流大小无关。

电感两端电压u_L与电感中电流的变化率呈线性关系，即。

3.5 试述电感端电压与电感电流的关系，其中“+”、“-”号如何取法？

答：电感端电压u_L（t）与电感电流i_L（t）的关系可有两种形式：

微分形式：

积分形式：

若i_L和u_L参考方向一致，取“+”号；若相反，取“-”号。

3.6 试述引起电路过渡过程的原因。

答：引起电路过渡过程的原因有外因和内因：外因是电路换路。如电路的接通或断开、电源的变化、电路参数的变化、电路结构的改变等。内因是电路中含有储能元件。储能元件即电容C和电感L，纯电阻电路不存在过渡过程。

3.7 什么叫换路定律？产生换路定律结论的原因和条件是什么？

答：换路定律数学表达式：u_C（0₊）=u_C（0_-）；i_L（0₊）=i_L（0_-）。

换路定律文字表述：在换路瞬间，电容两端电压不能跃变，电感中的电流不能跃变。

产生换路定律结论的原因和条件是激励电源的功率不可能为∞。电容储能为，电感储能为。在激励电源功率为有限值前提下，换路时电容储能和电感储能不能跃变，电容两端电压u_C（t）和电感中电流i_L（t）必定为时间t的连续函数，即u_C（t）和i_L（t）不能跃变。实际上，激励电源功率不能为∞的条件总是满足的。

3.8 “电容对直流相当于开路”与“储能为零的电容在换路瞬间相当于短路”是否有矛盾？

答：不矛盾。“电容对直流相当于开路”是指电路达到稳态后，即t→∞时，此时电容已充放电完毕；而“电容两端电压为0，换路瞬间相当于短路”是在暂态过程初始瞬间，即仅在t=（0₊）时刻。

3.9 如何理解“电感对直流相当于短路”与“储能为零的电感在换路瞬间相当于开路”？

答：“电感对直流相当于短路”是指电路达到稳态后，即t→∞时；而“储能为零的电感在换路瞬间相当于开路”是指暂态过程的初始瞬间，即仅在t=（0₊）时刻。

3.10 i_C（0₊）与i_C（0_-）、u_L（0₊）与u_L（0_-）是否相等？

答：不相等。除换路定律所规定的u_C（0₊）=u_C（0_-）、i_L（0₊）=i_L（0_-）外，电路中其余电流电压参数均不存在f（0₊）=f（0_-）。

3.11 什么叫一阶电路？如果电路中有两个或两个以上电容电感的电路是否一阶电路？

答：动态元件（即储能元件L或C）只含有一个的电路可用一阶微分方程描述和求解，这种电路称为一阶电路。

如果电路中有两个或两个以上电容电感，若通过串并联能将其等效为一个电容或一个电感，则电路仍为一阶电路，否则不是一阶电路。

3.12 什么叫零输入响应？零输入响应表达式波形有何规律？

答：若电路输入能量为0（即不再输入新的能量），依靠电路原有储能产生过渡过程（响应）时称为零输入响应。这种电路一定是储能元件放电电路，最终，储能为0（即放电放光，u_C=0或i_L=0）。

零输入响应表达式：，其中f（0₊）为换路后电路储能初始值，其波形如图3-7所示。

3.13 时间常数τ的含义是什么？

答：时间常数τ反映了电路过渡过程的快慢。在零输入响应中，τ表示储能元件从初始储能值按指数规律逐渐衰减到36.8%时所需的时间。τ越小，衰减速率越快。

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图3-7 零输入电路波形

3.14 为什么说过渡过程经过3τ～5τ就可以认为基本上结束？

答：从理论上讲，过渡过程要到t→∞时结束。但实际上经过3τ～5τ后，储能元件从初始储能值已衰减到原来的0.05～0.007。因此，可以认为过渡过程基本上结束了。

有的教材书将暂态分析称为瞬态分析，不太确切。“瞬”是很短暂的时间概念。3τ～5τ过渡过程时间不一定符合“瞬”的条件，也有可能其绝对时间较长，但其仍属暂态。

3.15 什么叫零状态响应？零状态响应表达式波形有何规律？

答：零状态响应是在电路零初始状态下（储能元件初始储能为零），由外施激励引起的响应。这种电路一定是储能元件由零开始充电，最终充至最大值。

零状态响应表达式：，其中f（∞）为换路后电路达到新的稳态值，其波形如图3-8所示。

3.16 写出一阶电路三要素法一般形式，指出其中的稳态分量和暂态分量，零输入响应和零状态响应。

图3-8 零状态响应波形

答：三要素法一般形式：

3.17 如何求解f（0₊）和f（∞）？

答：求解f（0₊）应充分利用换路定律，并从换路定律入手。RC电路，先求u_C（0_-），u_C（0₊）=u_C（0_-）；RL电路，先求i_L（0_-），i_L（0₊）=i_L（0_-）。若采用其他方法，虽然也可求解，但相对麻烦。

求解f（∞）即求解换路后电路达到新的稳态值。电路达到稳态后，充电电路，电容电压和电感电流已达最大值；放电电路，电容电压和电感电流已达最小值。电容相当于开路，电感相当于短路，然后按第1、2章中所述直流电路的分析方法求解f（∞）。

3.18 如何求解时间常数τ？表达式中的R应如何理解？

答：RC电路，τ=RC；RL电路，。

求解时间常数τ表达式中的R应理解为换路后从动态元件（C或L）两端看进去的戴维南电路等效电阻。

3.19 什么叫阶跃函数？其模拟功能是什么？

答：在t=0时刻，函数值发生跳变的函数称为阶跃函数。其数学表达式为：

其模拟功能相当于开关动作。

3.20 什么叫阶跃响应？

答：阶跃响应是电路在阶跃函数的激励下产生的零状态响应。

3.21 画出微分电路及其输入输出电压波形，写出输入输出电压关系式，指出其条件。

答：微分电路及其输入输出波形如图3-2所示。

输入输出电压关系式：

微分电路条件：τ=RCτ_a，其中τ_a为输入电压脉宽。

3.22 画出积分电路及其输入输出电压波形，写出输入输出电压关系式，指出其条件。

答：积分电路及其输入输出波形如图3-3所示。

输入输出电压关系式：

积分电路条件：τ=RCτ_a，其中τ_a为输入电压脉宽。

3.23 什么叫二阶电路？

答：含有两种储能元件（L和C）的电路称为二阶电路。

3.24 简述二阶电路零输入响应的三种状态。

答：二阶电路零输入响应在电容放电过程中，一部分能量被电阻R消耗，另一部分能量被另一个储能元件电感L吸收。随着电容能量的释放，电感L中吸收的磁场能量又会转换为电容电场能量，形成电容C和电感L之间能量的来回交换，这种LC能量交换、R耗能的状态与R、L、C参数有关。

当时，电路响应为非振荡状态，其中称为过阻尼；称为临界阻尼；当时，电路响应为减幅振荡状态，称为欠阻尼。实际上可以认为，R较大时，由于消耗能量过大而振荡不起来；R较小时，可以振荡，但能量逐步变小，因此为减幅振荡。R越小，维持振荡时间越长。若R=0，称为无阻尼，则可维持等幅振荡。