立体的表面交线：截交线和相贯线的理解与应用

4-1 章首寄语

整合知识

点拨重点

引导学法

立体的表面交线，一是指平面截切立体所产生的交线——截交线；二是指两立体相交所形成的交线——相贯线。工程实际中，机件表面上的交线随处可见，所以必须掌握它们的作图原理和作图方法。

（一）截交线

截交线是截平面与立体表面的共有线。对于平面体，其截交线为平面折线；对于回转体，其截交线一般为平面曲线。由于被截的部分都有一定的大小，而任何立体又都有一定的范围，所以截交线一定是一个平面图形。

平面图形的形状与被切立体的形状及截平面与立体的相对位置有关。对于平面体，其形状是直线段围成的平面多边形；对于回转体，其形状由曲线围成（如圆、椭圆），或者由曲线和直线围成（如双曲线、抛物线，以直线封闭），或者由直线段围成（如平行两直线加两直线封闭成矩形，相交两直线加一直线封闭成三角形）。显然，后两者的平面图形并非全由回转面上的截交线所围成，而是以圆柱、圆锥的顶、底面上被切得的截交线——直线加以封闭而形成的。

当立体被几个平面同时截切时，则必然形成几个毗连的平面图形。求这种组合截交线的投影，实际上就是求这些平面图形的投影。当然，作图的实质最终还是归结为求体表面上的点的投影。

求截交线的投影，应注意以下两点：

（1）注意求特殊点。画图时先求特殊点，可确定交线的投影形状、范围、伸缩趋势及与回转面投影转向轮廓线上的连接点等。截交线（或相贯线）上的特殊点，多为回转面投影的转向轮廓线上的点、对称轴线上的点，以及最高、最低、最前、最后、最左、最右点等。

（2）当用几个组合平面截切立体时，要注意找出截交线间的结合点。结合点间的连线，既是两截交线的相交线，也是被切出的两平面图形的分界线和转折线，切勿漏画。

（二）相贯线

两回转体相交，因相贯线的形状随相贯两体的形状、大小及相对位置的变化而变化，又因相贯线多为空间曲线，其“走势”（从左向右，或向前、向后，或向上、向下）有时不好揣摩，因此学习者普遍感到困难，作图后总感觉心里没底。

其实，能够熟练地掌握回转体表面上点的求法，截交线的投影便可迎刃而解，而截交线的投影真的弄通，相贯线的求法也就不至于那么困难了。因为相贯线就是相贯两体两组截交线上诸多交点的结合。可见，两组截交线如何产生，就是问题的关键所在了。解决的办法是：特设一个辅助平面，令其同时截切两体。就是说，有了辅助平面，才能满足前二者求其表面共有点的条件，这就是求相贯线投影所采用的“三面共点”的原理的由来。

辅助平面通常是为求相贯线上的一般点而设（某一回转体的外形轮廓线与另一回转体表面的交点虽为特殊点，但有时也需包含该外形轮廓线作辅助平面才能求出）。

求相贯线的步骤是：

（1）分析两相贯体表面的几何性质、相对位置和投影特性，判定相贯线的大致形状和伸展趋势。

（2）求特殊点，以圈定相贯线的投影范围。

（3）设辅助平面，求一般点。

（4）判别可见性，整理外形轮廓线。

（5）依次连线，完成全图。

相贯线通常为闭合的空间曲线。当相贯两体的表面性质、它们的相对位置及尺寸大小变化到某种特定情况时，相贯线可为平面曲线或直线。了解这些特殊类型的相贯线，当遇到类似的相贯情况时，就可直接判断相贯线的形状，并可简化作图了。

相贯线为平面曲线有两种情况：一是相贯的两体共轴时，相贯线为圆；二是相贯的两体公切于一圆球时，相贯线为两个相交的椭圆。相贯线为直线也有两种情况：一是当相贯的两圆柱体的轴线平行时，相贯线为平行的两直线；二是当相贯的两圆锥体具有一个公共的顶点时，相贯线是交于顶点的两直线。

相贯线是教学中的一个难点，但还必须攻破。首先，实际机件上经常出现，不画其投影不便于看图；其次，在钣金工放样下料时，也要求准确地画出机件表面的交线，以保证焊接件在卷曲成形后焊缝能准确地吻合；再次，对进一步掌握回转体表面上点、线的投影规律，培养空间想象能力乃至后面的学习，都有好处。

但应指出，相贯线是两体相交自然形成的，图样中即使不画其投影，机件照样可以制造出来。因此，在不致引起误解时，图形中的相贯线可以采用简化画法或模糊画法。但我们决不能因此而忽视这部分内容的学习。因为不会求相贯线的投影，想用好简化画法和模糊画法也是不可能的。

班级 姓名 学号

4-2 根据给出的视图，补画缺线或补画视图，完成三视图

1.

2.

3.

4.

班级 姓名 学号

4-3 根据轴测图，在方格内徒手画出其三视图

班级 姓名 学号

4-4 圆柱体切口、开槽的画法（做题前必读）

直观展示

抓住关键

右侧两图反映圆柱被切的两种基本形式，这种结构在机件上也很常见。然而初学者画图时却往往出错，所以把它“展示”出来，望仔细分析，彻底弄明白。

这类图有一特点，只要将切口、凹槽的特征形状显现出来并注上尺寸，一般只用一个视图即可，两个视图足够。这说明，切口、凹槽多由特殊位置平面切出，积聚性的投影反映其特征，另一面投影反映其实形。因此，只要掌握平面形的投影特性，问题即可迎刃而解。

画这类三视图的方法步骤是：

①先画出完整圆柱的三视图。

②抓住被切平面的积聚性投影，先画反映槽、口特征形状的视图，再按投影规律完成其他视图。

③分析圆柱表面外形轮廓线的变化情况（看是否被切掉）。

④求出交线（切面与圆柱表面的交线，两切面之间的交线）两端点的投影。

⑤判别交线投影的可见性。

当在圆筒上切口、开槽时，其投影又变得复杂些。因为切平面不仅与圆柱外表面相交，也与圆孔的内表面相交。因此，作图时应内外兼顾，其作图步骤同上。

1.圆柱切口的直观展示如下：注意“弓形面”的投影范围。

2.圆柱开槽的直观展示如下：注意“弓形面”投影的可见性。

班级 姓名 学号

4-5 根据两视图，补画所缺的第三视图

1.(www.xing528.com)

2.

3.

4.

班级 姓名 学号

4-6 根据轴测图，在方格内徒手画出其三视图

班级 姓名 学号

4-7 怎样求截交线上的点（做题前必读）

指出关键

调理思路

求截交线投影的关键，就是求截平面与体表面上共有点的投影。因为截平面多为特殊位置平面，至少有一面投影具有积聚性，亦即截交线的投影至少有一面是已知的，因此，求截交线上的点就要牢牢地抓住这具有积聚性投影，特别是斜线（指投影面垂直面的投影，如图），可以说，它是“点的宝库”（截交线上所有点的投影均聚于此）。进而运用体表面求点法，即可求出。

右图分别示出了求“柱、锥、球”表面上特殊点、一般点及曲线的过程，希望读者认真读一读。

求特殊点的过程

求一般点的过程

求曲线的过程

班级 姓名 学号

4-8 根据已知的视图，完成三视图

1.

2.

3.

4.

班级 姓名 学号

4-9 求截交线的投影，并补画俯视图

1.

2.

班级 姓名 学号

4-10 怎样设置辅助平面（做题前必读）

1.

2.

3.

吃透原理

明确步骤

除两圆柱垂直正交、偏交可利用积聚性求相贯线外，一般需设置辅助平面才能满足求相贯线投影的条件——三面共点（即点为相交两体表面和辅助平面所共有）。作图时，应恰当地选择辅助平面（一般为投影面平行面）及其截切位置（它决定欲求点的位置）。求相贯线的关键依然是求“点”，其作图步骤见上图：设辅助平面，则M、N两组截交线的交点A、B即为所求。

设置辅助平面的原则是：使由该面切得的两组截交线为最简单、易画的直线或圆。

班级 姓名 学号

4-11 相贯线的投影

1.求相贯线的投影（求出四个一般位置点的投影，保留作图线）。

2.用近似画法求出相贯线的投影。

班级 姓名 学号

4-12 补画所缺视图或完成三视图

1.

2.

3.

班级 姓名 学号

4-13 补画相贯线的投影，完成三视图

1.

2.

班级 姓名 学号

4-14 求截交线的投影，并补画俯视图

1.

2.

班级 姓名 学号