FIR滤波器设计方法简介

在软件无线电中大量使用有限冲击响应滤波器FIR，主要是因为它相对无限冲击响应滤波器IIR而言，具有以下一些优点：

（1）可以实现严格的线性相位特性：只要h（n）是实数，就以为中心对称。

（2）总是稳定的：FIR滤波器系统函数的极点位于Z平面原点，它总是稳定的。当采用非递归结构实现时，不存在输出对输入的反馈，系数量化或有限字长运算对滤波器频响或输出的影响较小。

（3）设计方法灵活：可适应各种幅度特性及相位特性的要求。

（4）硬件容易实现：是一种卷积和运算，可利用快速傅立叶变换和其他快速算法来实现。

但是和IIR滤波器相比，FIR滤波器的主要缺点是：达到相同性能指标所需滤波器阶数要高很多，其延迟也要比同样性能的IIR大很多。

FIR设计方法主要有窗函数法、频率抽样法和等波纹逼近的最优化等方法。

4．4．3．1　窗函数法

窗函数法就是用一个已知的窗函数去截取一个理想滤波器的冲击函数，得到实际可用的FIR滤波器，即

一般hid（n）是已知的，如对于抽取D倍用的理想低通滤波器，则：

这时有：

此时滤波器几乎所有重要指标都由窗函数决定。通常加窗会使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度；过渡带两旁产生肩峰和阻尼余振，波动幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积之比。改进滤波器的关键在于改进窗函数。

为了改善FIR滤波器性能，必须修改窗函数，使其具有更好的窗谱。一个好的窗谱，应满足以下两方面的条件：

（1）主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带。

（2）第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少。

对任一具体窗函数而言，以上两个条件互相矛盾，不能同时满足，只能根据具体设计指标，选择一种能兼顾各项指标的相对最佳的窗口。常见的窗函数w（n）有：矩形窗、汉宁窗（Hanning）、海明窗（Hamming）、布－哈（Blackman－Harris）窗、恺撒（Kaiser）窗等，其性能比较见表4－1所示。

表4－1　几种常见窗函数的比较

其中N为FIR滤波器脉冲响应的长度。用窗函数法设计FIR滤波器的好处是简单、直观、便于理解，但设计出来的滤波器往往不是最佳的。

4．4．3．2　频率抽样法

窗函数法是从时域出发，把理想的hid（n）用一定形状的窗函数截取成有限长的h（n）来近似hid（n），这样得到的频率响应H（ejω）逼近于我们所要求的理想的频率响应Hid（ejω）。而频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应Hd（ejω）加以等间隔抽样，得：

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其中，Hk、φ（k）分别是对幅度函数和相位函数φ（ω）的第k个抽样。再对H（k）做IDFT，得h（n）作为所设计滤波器的单位取样响应。

其系统函数为：

要使FIR具有线性相位，h（n）必须是实序列，且满足对称性h（n）=h（N－1－n），由此推出，H（k）必须满足以下共轭对称关系：

将z=ejω代入式（4－57），得：

其中，

式（4－60）正是由离散谱求连续谱的内插公式，式（4－61）是内插函数。所以在各频率取样点上，实际滤波器的频率响应与所要求滤波器的频响严格一致。但是在各频率取样点之间的频率响应则是由各取样点的内插函数在该处值的叠加而成，必然会有一定的逼近误差，误差的大小与样点的疏密有关，更与相邻两样点值变化的大小有关。理想频谱曲线越光滑平坦，样值变化越小，则误差越小。采样点越密，相当于相邻样值的变化越小，误差也越小。

频率抽样法的优点是可以直接在频域设计，物理概念清晰，直观方便，特别适于设计窄带选频滤波器，因为这时只有少数几个非零值的H（k），计算量大为降低。只是截止频率难以控制，很难满足对频域特性要求较严的场合。该方法的应用不及窗口法普遍。

4．4．3．3　最佳滤波器的设计

最佳是指所设计的滤波器的频率响应H（ejω）在所要求的频率范围内与理想滤波器Hid（ejω）之间的最大逼近误差最小，即所谓的“最大最小”准则意义上，或叫切比雪夫的准则意义上的最佳化。可表述如下：

其中ωc是通带截止频率，δp是通带内的最大绝对误差，ωA是阻带截止频率，δs是阻带内的最大绝对误差。

引入一个固定的加权因子k，使

则有：

定义逼近误差函数为：

则最大最小（切比雪夫）准则就是：

因此最佳滤波器的设计就转化为切比雪夫逼近问题的求解。