解析运动微分方程中的位移方程

对于无刚体位移的系统，也可以通过柔度矩阵来建立系统振动微分方程——位移方程。柔度定义为弹性元件在单位力作用下产生的变形，它的物理意义及量纲与刚度恰好相反。下面以如图3-6（a）所示的两自由度简支梁来说明位移方程的建立。

图3-6

如图3-6所示的无质量的弹性梁上具有若干个集中质量的多自由度系统是从质量连续分布的弹性梁简化而来的。假设P1、P2是常力，并且以准静态方式作用到梁上，这时梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。取质量m1、m2的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，设外力为P1=1、P2=0时，两个质量的位移分别为x1=f11、x2=f21，如图3-6（b）所示；又设外力为P1=0、P2=1时，两个质量的位移分别为x1=f12、x2=f22，如图3-6（c）所示。对于线性弹性，两个质量同时受到P1、P2作用时，它们的位移可由叠加原理得到为

上面两式可写成下列矩阵形式

其中

矩阵F 称为系统的柔度矩阵。显然，元素fij的意义是系统仅在第j个坐标上受到单位力作用时相应于第i个坐标上产生的位移，fij称为柔度影响系数。梁的柔度矩阵可以用材料力学计算梁挠度的各种方法求得。

当外力P1、P2是动载荷时，必然使梁产生加速度，即集中质量上还有惯性力存在，见图3-6（d），因此式（3-9）成为

上式也可写成矩阵形式

或简写成

式中

式（3-11）中每一项都是位移的量纲，故称为位移方程。式（3-11）还可以写为下面的形式

如果系统具有n 个自由度，其位移方程仍是式（3-11）的形式，相应的位移矢量x、加速度矢量、激振力矢量P（t）、质量矩阵M 及柔度矩阵F 分别为

为比较作用力方程与位移方程，将式（3-5）改写为

如果K 阵是非奇异的，即K 的逆矩阵K-1存在，对上式两端左乘K-1，得

比较式（3-13）与式（3-11），得

式（3-14）即为柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系。对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），例如图3-7所示的系统，柔度矩阵是不存在的，这是因为在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移。可以证明图3-7中系统的刚度矩阵K 是奇异的，所以位移方程不适用于具有刚体位移的系统。

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图3-7

【例6】写出图3-8（a）中两自由度简支梁做横向振动的位移方程。已知集中质量为m1、m2，它们与两端距离都是，并且作用有激振力P1、P2，梁的抗弯刚度为EJ。

图3-8

解：由材料力学可知，对图3-8（b）的简支梁，当B 点作用向下的单位力时，A 点的挠度为

由上式计算出下列柔度影响系数

其中，，于是柔度矩阵为

由式（3-11），梁做横向振动的位移方程为

【例7】试求例4的系统的柔度矩阵。

解：沿坐标x1对质量m1作用单位力，系统在坐标x1、x2及x3上产生的位移为

沿坐标x2对质量m2作用单位力，系统在各坐标的位移为

沿坐标x3对质量m3作用单位力，系统在各坐标的位移为

因此系统的柔度矩阵为容易验证上面的柔度矩阵F 与例4中的刚度矩阵K 的乘积为

其中，矩阵I为单位矩阵。

上面两例中柔度矩阵对称不是偶然的，由于对线性弹性系统，功互等定理成立，所以柔度影响系数之间存在下列关系

fij=fji，i、j=1，2，3，…，n

即柔度矩阵是对称的，作为它的逆矩阵，刚度矩阵也是对称的。

最后来看一下式（3-5）中质量矩阵与刚度矩阵的正定性质。称一个n 阶方阵A 正定，是指对于任意的n 维列矢量y，总有

并且等号仅在y=0时才成立。如果y ≠0时等号也成立，那么称矩阵A 是半正定的。根据分析力学的结论，具有定常约束的系统的动能T 与势能U 可写为下列二次型

由于实际系统的动能T 除了全部的速度都等于零之外总是大于零的，所以质量矩阵M 一般是正定的。对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值，当各个位移xi（i=1，2，3，…，n）不全为零时，势能U 总大于零，所以刚度矩阵K 是正定的；对于具有随机平衡位置的系统，它可以产生刚体位移（见图3-7），这时对不全为零的位移xi（i=1，2，3，…，n），势能U 也可以等于零，因此刚度矩阵是半正定的。

刚度矩阵还可能呈现其他的性质，振动问题中主要讨论刚度矩阵K 正定的系统及刚度矩阵K 半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统。