杆的扭转振动优化方法

4.3.2.1 振动微分方程

一根圆形横截面的细长直杆，杆的单位体积质量为ρ，截面抗扭刚度为GJt（x），G 为剪切弹性模量，It（x）为截面抗扭常数，对于圆形截面It（x）=Ip（x），Ip（x）为截面的极惯性矩，设杆在扭转振动时截面的翘曲可忽略不计，且始终保持截面平面绕x 轴做微摆动，以φ（x，t）表示距原点x 距离处截面的角位移，现在杆上取一微段dx，其受力如图4-8（b）所示。由材料力学知

图4-8

再根据动量矩定理有

整理后得

把式（4-33）代入上式，得

对于等直杆It为一常数，上式可化简为

式中：，对于圆截面杆，It=Ip，则c2=G/ρ，c为剪切弹性波沿x 轴的传播速度。

4.3.2.2 杆的扭转自由振动微分方程的解

式（4-34）与式（4-25）具有相同的形式，也是一维波动方程，故其解可直接写成

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式中：A、B、ω、φ 四个待定常数，同前所述，可由初始条件和边界条件来确定。

现把一些常用的边界条件列入表4-3中。

表4-3 常用的边界条件

续表

注：Jp、J0分别为杆的单位长度的质量对x 轴的转动惯量和圆盘质量对x 轴的转动惯量。

同杆的纵向振动一样处理，杆的扭转自由振动的通解由各主振型叠加而成，即

当给定初始条件后，则由

来决定式（4-36）中的常数项An（或Bn）和αn。从前两节中所述的一样，在求解这些常数项时还要应用正交性的关系。

由于杆的扭转受迫振动微分方程应与式（4-32）有相同的形式，为此，其解也有相同的形式。

现以表4-4给出弦、杆及轴振动方程的参数对应关系。由表中对应关系，即可举一反三。

表4-4 弦、杆、轴振动方程参数对照表

例如，已知两端固定的均匀弦的固有频率及正则振型的表达式Y（x）=，…，根据表4-4的对应关系，即可知两端固定的均匀轴的固有频率及正则振型的表达式：。