邓柯莱公式：精确计算基频下限

这个方法最早是由邓柯莱（Dunkerley）在用实验确定多圆盘轴的横向振动固有频率时提出的，由于方法简单，便于作为系统基频的估算公式。

记n 阶方阵D 为系统的动力矩阵，它定义为

由位移方程得到的特征值问题为

其中

借助动力矩阵D，式（5-44）可写为

若将n 个特征值λi按大小排列为

则最大的特征值为，即对应于系统的第一阶固有频率（称为基频）。由式（5-46）得到特征方程为

将式（5-48）左端展开，得

其中，dii是矩阵D 的主对角线上第i个元素。由代数方程理论得知，式（5-49）中λn-1的系数的相反数等于n 个特征值的和，即(www.xing528.com)

λ1+λ2+…+λn=d11+d22+…+dnn

其中，右端是矩阵D 的主对角线上各元素之和，称为D 阵的迹，记作trD，于是上式可写为

当质量矩阵M 为对角阵时，动力矩阵D 的迹为

式中：fii及mi分别是柔度矩阵F 及质量矩阵M 主对角线上第i个元素。因为fii是在第i个质量mi处作用单位力时产生的位移，所以如果只保留第i个质量，则所得到的单自由度系统的固有频率可表示为

将式（5-51）及式（5-52）代入式（5-50）的右瑞，并利用式（5-45），得

对于梁结构系统。第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因而式（5-53）左端可以只保留一项，从而得到

式（5-54）称为邓柯莱公式，由这个公式计算出的基频显然是精确值的下限。