平面应力状态下的应力计算

（1）解析法 已知单元体上受力如图2-2所示。则：

图2-2 单元体受力示意图

1）垂直于主平面abcd的各斜截面上的应力为

式中σ_x、σ_y——作用在单元体上的正应力；

τ_x——作用在单元体上的切应力；

α——斜截面de与截面ad间的夹角，由x轴起以逆时针方向为正。

2）主应力及主方向为

式中α₀——主应力σ₁与x轴的夹角，表明σ₁的方向。

3）最大切应力及其位置为

式中 β——最大切应力作用面法线与x轴的夹角，它表明作用面的位置，

且与主平面相差±45°。

（2）图解法（应力圆法） 应力圆画法如图2-3所示。(www.xing528.com)

图2-3 应力圆画法

1）取直角坐标系，以σ为横轴，τ为纵轴。

2）根据已知应力（σ_x、τ_x）及（σ_y、τ_y）按比例定出A、B两点。注意应力正负与坐标轴的正负一致。

3）连A、B两点的直线交σ轴于C点，以C为圆心，CA（或CB）为半径作圆，此圆即为所求单元体的应力圆。

平面应力状态下单元体任一截面的应力可用应力圆圆周上对应点的横坐标（正应力）和纵坐标（切应力）来表示。如单元体中与da面夹角α的de面上的应力可用应力圆上F点坐标表示：

σ_α=OGτ_α=FG

F点是由A旋转2α得到（注意不能由D旋转2α确定F，因应力圆上的起量基点与单元体上的起量基面相对应，如单元体上起量基面为bc，则应力圆上以与bc面相对应的点A为起量点，且应力圆上任意两点所夹圆心角为对应于单元体上相应截面相夹之角的2倍）。

主应力及主方向：

σ₁=OD，σ₂=OE，

最大切应力及位置：

τ_max=CM， τ_min=CN，

式中，各坐标如OD，OE，……都可按事先选定的比例换算为数值。