边界与约束条件优化探究

关于边界范围大小的选取，Chabert提出的办法是先指定一个较大的范围ABC-DEF为零位移边界（图3-19d），并在齿顶M点施加一集中为F，这时算得PQRS线上各点的位移都不超过M点位移的3.5%。他认为PQRS可以被接受为零位移边界。这时PQ大约为1.5m，QR为3m。

从图3-19上看，Daimler-Benz公司，MTU，达姆斯达特工业大学所选取的零位移边界都比Chabert的大。

黄瑞清曾用图3-19f模型，保持图中AB边界大小不变，而改变BC的长度，得到了齿根最大拉应力和BC长度之间存在如图3-25曲线1所示的关系，它说明BC取为5m是比较合理的。再保持BC长度不变而改变AB的大小，得到了最大拉应力和AB之间的关系，见图3-25曲线2所示，显然AB长度取1.5m已是足够了。

关于边界约束条件也有一些计算者进行过探讨。表3-2中德国达姆斯达特工业大学所计算的二个例子就是具有不同的边界约束条件。一例是将图3-19g中ABCD边界固定；另一例则是只固定BC。计算结果表明，前一种情况的应力略高于后一种情况。

图3-25 最大拉应力与边界的关系

曲线1—边界宽度（BC）与最大拉应力的关系 曲线2—边界高度（AB）与最大拉应力的关系

清华大学傅佑民用两种约束条件对图3-26所示模型进行了计算，模型共分386个单元，430个节点，边界BC宽5.7m，AB长1.9m。第一种约束条件是各边界节点全部固定铰支，第二种约束条件是两侧边界AB，CD只有水平铰支，BC边界只有垂直铰支。计算结果表明两种方案得到相同的最大拉应力。再画出σ₁-σ₂的等应力曲线图3-27，图中实线是第一种约束条件，虚线是第二种约束条件。可以看出两种约束条件的等应力曲线几乎是重合的，只是靠近边界处有所不同，而且两侧边界的约束条件影响较大。正是由于本算例边界BC宽度取为5.7m，因而有足够的余地使不同约束的影响得以逐渐衰减，所以尽管约束不同，轮齿主体部分的等应力曲线仍然是相同的。由此可以得出结论：边界宽度大于5m是完全必要的，此时不同的边界约束对齿根的最大拉应力没有影响。

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图3-26 离散化模型

图3-27 等应力曲线

【例3-2】 清华大学蒋孝煜、高维山曾对BJ212一档主动齿轮作有限元计算，该齿轮是直齿轮，其参数如下：模数m=3.175，压力角α=20°，齿数z=18，变位系数x=0，齿宽b=19mm。

计算的目的是探讨齿根过渡曲线对弯曲应力的影响。利用本章3.2.1节所述方法，可以很容易地得到不同的刀刃圆角所范成出的不同过渡曲线，然后用图3-19b所示的计算模型进行有限元计算，所得结果见图3-21。由图3-21可见，当过渡曲线的最小曲率半径ρ_min由0.7mm增加到1.6mm时，齿根拉应力下降约15%，按齿轮弯曲疲劳曲线折算，这相当于原有寿命的三倍。北京齿轮厂试制了加大齿根圆角的齿轮，并和不加大齿根圆角的批量生产齿轮作寿命对比试验，结果见图3-28，图中纵坐标是所加试验转矩，横坐标是循环次数，曲线1是未加大圆角的齿轮，曲线2是加大齿根圆角的齿轮，可以看出在相同载荷下，后者的寿命等于前者的3倍。有限元计算和试验结果是吻合的。

图3-28 试验比较