电阻的Y形和△形连接的等效变换

图1-23所示的电路是一种具有桥形结构的电路，它是测量和传感器中常用的一种电桥电路，该电路中的电阻既非简单的串联，又非简单的并联，不经处理没有办法利用前面所介绍的方法对电路进行等效变换的化简处理。但图1-23中电阻的连接具有某种对称的关系，这种对称的关系在一定的条件下可以互相转换，而不改变电路的外特性。

图1-23 电桥电路

电阻连接的对称关系有Y形连接（或称星形连接）和△形连接（或称三角形连接）。图1-23中的电阻R₁、R₃和R₅构成一个Y形连接电路，电阻R₁、R₂和R₅构成一个△形连接电路。下面来讨论这两种连接方式等效变换的公式。

由图1-23可以看出Y形连接和△形连接的特点是：在Y形连接中，各个电阻都有一端接在一个公共的端点上，另一端引出三个端子按如图1-24a所示的形式与外界连接；在△形连接中，各个电阻按如图1-24b所示的形式分别接在三个端子的每两个之间。

图1-24 电阻的Y形和△形连接

为了区别Y形连接和△形连接中的电阻，我们规定Y形连接中与端子1、2、3相连的电阻分别用R₁、R₂和R₃来表示，△形连接中跨接在端子1、2、3上的电阻分别用R₁₂、R₂₃和R₃₁来表示；流入Y形连接1、2、3端口的电流分别用I₁、I₂和I₃来表示，流入△形联结1、2、3端口上的电流分别用I′₁、I′₂和I′₃来表示。

两电路实现等效变换必须满足的条件是：变换后两电路的外特性要保持不变。两电路的外特性是：端子的电压U和流入端子的电流I。

在两电路相同字母的端子上加相同的电压，即可实现两电路端子的电压保持不变的条件，流入端子电流保持不变的方程为

设各电流的参考方向如图1-24所示，利用基尔霍夫定律可列出在两种连接方式下，各个电流、电压相互关系的方程式。对于Y形连接有

将式（1-51）写成矩阵的形式为

用MATLAB求解该矩阵的程序为

该程序运行的结果为

将U₁₂+U₂₃=U₁₃=-U₃₁代入上述解的结果可得

对于△形连接有

要使式（1-52）和式（1-53）相等，就要使两式中各个端子电压前的系数相等，即U₁₂、U₂₃和U₃₁前的系数要相等，因此Y形连接转换为△形连接电阻的公式为

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将式（1-54）中三式相加后通分，就可得到△形连接转换为Y形连接电阻的公式，即

为了便于记忆，以上的转换公式可归纳为

【例1-7】 求图1-25所示电路的总电阻R_ab。已知R₁=R₂=R₃=2Ω，R₄=R₅=R₆=1Ω。

解 因为节点1、2、3和2、3、4内部的电路为△形连接，而节点1、2、4和1、3、4内部的电路为Y形连接，分别以节点3和2为公共点，任意选择一部分电路进行变换，即可实现电路的化简。

方法一：

图1-25 例1-7图

先将节点1、2、3内部的△形连接电路转换成Y形连接，为便于计算等效电阻，将参与变换的电阻下标写成图1-26a所示的标准形式。转换后的电阻用R′₁、R′₂、R′₃来表示，转换后的电路如图1-26b所示。

图1-26 △形转换为Y形的电路图

对照原电路可知：R₁₂=R₃₁=R₃=2Ω，R₄=R₂₃=R₆=1Ω。根据式（1-55）得

根据图1-26b所示的电路图可得

R_ab=2.684Ω

方法二：先将节点1、3、4内部的Y形连接转换成△形连接。同样为了便于计算等效电阻，将参与变换的电阻的下标写成标准的形式，并用R′₁、R′₂、R₃′与原电阻的下标相区别，如图1-27a所示。转换后的电阻用R₁₂、R₂₃、R₃₁来表示，转换后的电路如图1-27b所示。

图1-27 Y形转换为△形的电路图

对照原电路可知：R₁=R₁′=R₃=2Ω，R₂′=R₃′=R₆=1Ω。根据式（1-54）得

根据图1-27b所示的电路图可得

R_ab=2.684Ω