图论知识在电路分析中的应用

用支路电流法求解电路的问题，需要根据KCL和KVL列方程组，然后求解方程组。随着计算机技术的发展，现代的计算机系统可以实现根据输入的数据，自动地列出电路方程并对电路进行分析计算的功能，实现这种功能需要用到图论的知识。

在图论中，电路的几何结构建立在“图”和“树”的概念上。一个电路所有节点和支路的集合称为电路的“图”，用最少的支路连接所有节点的集合称为电路的“树”，电路的“图”和“树”的概念如图1-69所示。

图1-69a是电桥电路，图1-69b是图1-69a所示电路的拓扑图，简称“图”，图1-69c是该“图”的一根“树”，图1-69d是该“图”的一个回路。

图1-69 描述电路的图

由图1-69可见，只要将图1-69a所示电路中的支路抽象成线段就可以得到图1-69b所示的描述电路拓扑结构的“图”，用有向线段表示支路的称为有向图，反之称为无向图。由图1-69c可见，用最少的支路将所有的节点连接起来的图形即构成电路的“树”。因为连接“树”的方法有多种，所以给定的一个电路有多根“树”与之对应。图1-69所示电路的三根“树”如图1-70所示。

比较图1-69c和图1-69d可得，在树的两个节点之间连接上一条支路所形成的闭合图形就是回路。

图1-70 图1-69所示电路常见的“树”

树中的支路称为树支，将树连接成回路的支路称为连支。根据图论的知识可得，一个图的节点数为n，支路数为a，则树枝数b=n-1，连支数c=a-b。如图1-69所示的“图”，节点数n=4，支路数a=6，则树枝数b=3，连枝数c=a-b=3。

由树支和一个连支组成的回路称为单连支回路，如图1-69d所示。单连支回路组成电路的基本回路，由全部连支所形成的基本回路组成基本回路组，根据基本回路组所列出的KVL方程组是独立的方程。

例如，在图1-69所示的电路中，节点数n=4，支路数a=6，树支数b=3，连支数c=3，在用支路电流法求解该电路问题时，根据三个单连支回路所列的KVL方程是独立的。

用图论求解电路问题的关键是列出描述节点和支路关联性质的关联矩阵A。图1-71所示的有向图G有4个节点，6条支路。4个节点和6条支路的关联关系是一个4×6（i×j）的矩阵A_ij，该矩阵称为增广关联矩阵。增广关联矩阵的每一行对应一个节点，每一列对应一条支路，A_ij的矩阵元a_ij为

根据增广关联矩阵矩阵元的定义可得图1-69b所示有向图的增广关联矩阵为

由于每一条支路连接两个节点，所以，增广关联矩阵的每一列只有两个非零元素1和-1。如果把增广关联矩阵中所有的行元素按列相加，将得到一行各元素都是零的行矩阵，说明增广关联矩阵的所有行不是独立的，证明了n个节点独立的方程数是n-1的结论。

增广关联矩阵的某一行被删除以后的矩阵称为降价关联矩阵，简称关联矩阵，用符号A表示。图1-69b所示有向图的增广关联矩阵中第4行被删除以后的关联矩阵为

从增广关联矩阵变化到关联矩阵的物理意义是：选被删除的行所对应的节点为参考点，将原来不是独立的所有行变成独立的。有向图G与关联矩阵之间的关系是确定的，从有向图G可以得到关联矩阵A，从关联矩阵A也可以得到有向图G。引入关联矩阵A以后，可以将电路的KCL和KVL写成矩阵的形式。

设图1-69b所示的有向图G中每一条支路的方向表示该支路电流和电压的参考方向，支路的电流向量为I矩阵，支路的电压向量为U矩阵，图1-69b所示有向图G的KCL矩阵为(www.xing528.com)

分别对应于节点1、节点2和节点3的电流关系，与用支路电流法所列的KCL方程相同。求解电路问题不仅需要KCL方程描述节点电流之间的关系，还需要用KVL列回路电压方程，列回路电压方程需要用到回路矩阵B。回路矩阵B描述了支路与回路关联的性质，回路矩阵B_ij的矩阵元b_ij为

写出回路矩阵B的关键是独立回路数的确定，根据树和连支的概念可以确定电路的独立回路数。因为树不包含回路，在树的图中增加一个连支就形成一个单连通的回路，这些单连通的回路称为基本回路。在树的图中每一次连接上一根不同的连支就可得到不同的基本回路，不同的基本回路组成基本回路组，根据基本回路组所列的KVL方程组是独立的。

确定图1-69b所示有向图回路矩阵的方法是：根据支路数、节点数、树支数和连支数的关系可得该有向图的连支数为3，分别取3个连支与树组成的基本回路如图1-71所示。

图1-71的树由树支1、2、3组成，在数的基础上加入连支5形成如图1-71a所示的基本回路①②③①；在树的基础上加入连支4形成如图1-71b所示的基本回路①②④③①；在树的基础上加入连支6形成如图1-71c所示的基本回路①②④①。描述图1-71所示的基本回路的矩阵B是一个3×6的矩阵（3是电路的基本回路数，6是电路的支路数），根据支路和回路关联的性质可得回路矩阵B的矩阵元B_ij为

图1-71 由树和连支组成的基本回路

设各支路电压和电流的参考方向相关联，将描述支路电压关系的列矩阵U代入可得电路的KVL方程为

将矩阵形式的KCL和KVL组合起来即可得到用支路电流法求解电路问题的矩阵

用MATLAB求解该矩阵的程序为

该程序运行的结果为

在解的过程中，输入的数据使得电桥电路处于平衡的状态下，处于平衡状态下的电桥电路流过R₅电阻上的电流I₅等于0，解的结果证明了该结论。