相位差的计算方法

相位差用于描述两个同频率的正弦交流电在任何瞬时的相位之差。例如，两个同频率的正弦交流电压和电流的表达式分别为

如设ϕ₂₁表示电流i₂与电压u₁之间的相位差，则有

式（2-3）表明，同频率正弦交流电量的相位差等于它们的初相差，是一个与时间t无关的常数。电路课程中常采用“超前”和“滞后”的概念，来说明两个同频率正弦交流电量相位比较的结果。

在式（2-3）中，当ϕ₂₁＞0时，说明ϕ₂＞ϕ₁，称i₂超前u₁；当ϕ₂₁＜0时，说明ϕ₂＜ϕ₁，称i₂滞后u₁；当ϕ₂₁=0时，说明ϕ₂=ϕ₁，称i₂和u₁同相；当|ϕ₂₁|=π/2时，说明i₂和u₁的夹角为π/2，称i₂和u₁正交；当|ϕ₂₁|=π时，说明i₂和u₁的夹角为π，称i₂和u₁反相。

注意，超前和滞后的概念是相对的。例如，当ϕ₂₁＞0时，可称i₂超前u₁，也可称u₁滞后i₂，即ϕ₁₂＜0。为了避免混淆，本书说的相位差规定为式（2-3）确定的ϕ₂₁。即以下脚标为1的物理量为参照系来说明下脚标为2的物理量的初相位与参照系的关系。

相位差可以通过观察波形来确定，为了研究确定的方法，用MATLAB画出cos（t+π/6）和cos（t+π/3）的波形图如图2-2所示。用MATLAB画图2-2的程序为

%画相位差图形的程序

图2-2 波形图和相位差的关系图

图2-2的第三张图是cos（t+π/6）和cos（t+π/3）的波形叠加在一起的图。观察图2-2的第三张图中两个波形图极值点过零点的情况。该图清晰地显示出，随着时间t的变化，cos（t+π/6）的极值点较cos（t+π/3）的极值点先通过零点，因为cos（t+π/6）的相位滞后cos（t+π/3），所以，先通过极值点的为滞后；cos（t+π/3）的极值点较cos（t+π/6）的极值点后通过零点，因为cos（t+π/3）的相位超前cos（t+π/6），所以后通过极值点的为超前。

根据上述的特征可得观察波形来确定相位差的方法是：在波形图中确定同一个周期内两个波形的极大（小）值之间的角度差，即为两者的相位差。在波形图中，后到达极值点的为超前，先到达极值点的为滞后。

相位差的取值范围也是规定在主值范围|Δϕ|≤π内。两个同频率正弦交流电量之间的相位差，以及超前、滞后、同相、反相等概念在分析交流电路时经常要用到，大家有必要详细理解和区分它。下面举几个相位差计算的例子。

【例2-1】 比较下面4组正弦交流电量的相位差，并说明哪个超前，哪个滞后。(www.xing528.com)

解（1）这两个正弦交流电量是不同频率的，由于不同频率正弦交流电量的相位差是随时间而变化的函数，所以不同频率的正弦交流电量不能比较相位差，也无法说明哪个超前，哪个滞后的关系。

（2）根据式（2-3）可得

ϕ₂₁＞0，说明i₂超前i₁，超前的角度为135°。

注意：当计算所得的|ϕ₂₁|＞π时，因|ϕ₂₁|规定的取值范围为|ϕ₂₁|＜π，所以必须利用三角函数的诱导公式将-5π/4的结果化成小于π的3π/4形式。

（3）这两个正弦交流电量的表达式不一样，不同表达式的正弦交流电量比较相位差前，要先用三角函数的诱导公式，将两个正弦交流电量的表达式化成相同的形式。可将i₁（t）化成余弦函数，也可将i₂（t）转换成正弦函数，不影响计算的结果，下面将正弦函数转换成余弦函数来比较

ϕ₂₁＞0，说明i₂超前i₁，超前的角度为90°，这个关系说明i₁和i₂正交。

（4）比较相位差时两个正弦交流电量函数的表达式要用u（t）=U_mcos（ωt+ϕ）的标准形式，式中的U_m是最大值，是正数。在u₂（t）的表达式中，因数字6前面有一个负号，必须用三角函数的诱导公式将其化成u（t）=U_mcos（ωt+ϕ）的标准形式。

ϕ₂₁＜0，说明i₂滞后i₁，滞后的角度为120°。

注意，计算u₂（t）的表达式当用加π形式的三角函数诱导公式时，因|ϕ₀|规定的取值范围为|ϕ₀|＜π，所以应将最后的改写成的形式。

根据以上4组的分析，可以得出这样的结论，两个正弦交流电量进行相位比较时，要注意同频率、同函数，并在相位差小于π的前提下，才能正确地确定超前或滞后的关系。