正弦交流电表示法简介

时间：2023-06-28 理论教育版权反馈

【摘要】：对正弦交流电量进行分析和计算的表示法是正弦交流电量的相量表示法。图2-5 正弦量的相量图用相量图表示正弦交流电的幅值和初相位的方法称为正弦交流电量的相量图表示法。本书规定正弦交流电量用余弦函数来表示，画相量图前应将表示电压的正弦函数转换成余弦函数。

正弦交流电表示法简介

1.解析法和波形法

在前面的讨论中已知，正弦交流电的瞬时值可用三角函数来表示，用三角函数来表示正弦交流电的方法称为解析法。如

u（t）=U_mcos（ωt+ϕ）

将解析法中的三角函数表示成波形图的方法称为波形法。三角函数的波形图如图2-3所示，将图2-3所示的波形图写成解析式的关键是确定正弦交流电量的三要素。由图2-3可得该正弦交流电量的三要素为：U_m=5，T=8，f=0.125，ω=0.25π

因为

所以 ϕ₀=±143°

由图2-3可见，

（切线的斜率＞0），所以sinϕ₀＜0，则

图2-3 正弦交流电的波形图

ϕ₀=-143°

将三要素代入三角函数的解析式得

u（t）=5cos（0.25t-143°）

这两种表示交流电的方法比较直观，大家在数学和物理课程中经常接触，也比较熟悉。但这两种表示法不利于进行正弦交流电量的分析和计算。对正弦交流电量进行分析和计算的表示法是正弦交流电量的相量表示法。

2.相量表示法

在中学的数学课程中，三角函数可以用一个在平面上旋转的矢量来表示，如图2-4所示。

图2-4 用旋转矢量表示正弦量

在图2-4a中，有向线段的长度对应于正弦交流电量的幅值I_m。设t=0时，有向线段与x轴正方向的夹角为ϕ₀，对应于正弦交流电量的初相位等于ϕ₀；当有向线段以正弦交流电量的角频率ω在平面内作逆时针方向旋转时，有向线段与x轴正方向的夹角为ωt+ϕ₀，对应于正弦交流电量的相位等于ωt+ϕ₀；有向线段在y轴上的投影对应于i（t）=I_msin（ωt+ϕ₀）函数的波形，如图2-4b所示。

因为正弦交流电量的三要素与描述旋转矢量的长度、角速度和初相位三个量之间有着一一对应的关系，所以正弦交流电量可以用旋转矢量来表示。

当用旋转矢量来表示正弦交流电量时，只要画出如图2-5所示的在t=0时，有向线段和所处的方位即可，图2-5称为正弦交流电量的相量图。在图2-5中有向线段的长度可代表正弦交流电量的幅值，也可代表正弦交流电量的有效值。

注意，表示交流电的旋转矢量与表示力、电场强度等物理量的矢量有着不同的概念。矢量在空间上的指向是固定的，而旋转矢量在空间上的指向是按ω的角频率沿逆时针方向旋转的，为了区别这两个矢量，将随时间在平面上旋转的旋转矢量称为相量，用如图2-5所示的大写字母加字母上的黑点来表示。用有向线段的长度表示正弦交流电量幅值的，称为最大值相量，图中的和表示最大值相量；用有向线段的长度表示正弦交流电量有效值的，称为有效值相量，图中的U·表示有效值相量。

图2-5 正弦量的相量图

用相量图表示正弦交流电的幅值和初相位的方法称为正弦交流电量的相量图表示法。下面介绍根据正弦交流电量的解析式画相量图的方法。

【例2-2】已知某交流电路两端的电压u（t）和输入的电流i（t）分别为u（t）=U_msin（ωt+135°），i（t）=I_mcos（ωt-30°），画出该电路电流和电压的相量图。

解在同一张图中画两个正弦交流电量相量图的关键是两个正弦交流电量的函数形式要一样，对不同函数式处理的方法与讨论相位差的处理方法相同。本书规定正弦交流电量用余弦函数来表示，画相量图前应将表示电压的正弦函数转换成余弦函数。

根据电流和电压的表达式可得该电路的相量图，如图2-6所示。

作相量图时应注意，当正弦量的初相位为正时，相量按逆时针方向转过一个角度；当初相位为负时，相量按顺时针方向转过相应的角度，如图2-6中的电流相量所示。

图2-6的相量图清晰地显示出两个正弦交流电量大小和相位之间的关系。图中的电压相量超前电流相量，也可以说电流相量滞后电压相量。用相量图分析交流电路各电量之间的关系，具有概念清晰、简明实用的优点，所以相量成为分析交流电路的主要方法之一。用相量图表示正弦交流电量时应注意以下几个问题：

1）只有正弦交流电量才能用相量来表示，相量不能表示非正弦交流电量。

图2-6 例2-2图

2）正弦交流电量是随时间变化的量，它不是相量，相量仅是正弦交流电量的一种表示方法而已。它是利用相量在x轴或y轴上投影的表达式与正弦交流电量随时间变化的表达式相同这一特征来表示正弦交流电量的。

3）只有同频率的正弦交流电量才能画在同一张相量图上。因为同频率的交流电在任何瞬间的相位差不变，在相量图中，它们之间的相对位置保持不变。相对位置不变的旋转矢量可看成相对静止的相量，并能用矢量计算的平行四边形法则对交流电流或电压进行加减运算，计算的方法与物理学中计算力的合成和分解的方法相同，这里不再赘述。

3.复数表示法

随时间变化的正弦交流电量可以用相量来表示，而相量又可以用复数来表示，所以正弦交流电量也可以用复数来表示。用复数表示正弦交流电量的方法称为正弦交流电量的复数表示法。

正弦交流电量用复数表示后，对交流电路的分析和计算就变为复数的计算，这给计算工作带来了极大的方便。在具体讨论正弦交流电量的复数表示法之前，先简要复习一下复数的有关概念和性质。

图2-7所示为一直角坐标系，令其x轴表示复数的实部，称为实轴R_e；纵轴表示复数的虚部，称为虚轴I_m。由实轴和虚轴所构成的平面称为复平面。复平面中有一相量，它在实轴上的投影为复数的实部a，在虚轴上的投影为复数的虚部b，根据复数的定义可得相量的复数式为

式（2-9）称为复数的代数式，式中的字母j为复数单位，即j²=-1。在数学课中复数的单位用字母i来表示，在电路分析课程中，因字母i表示交流电流，为了在符号上不混淆，将复数的单位更改为字母j。复数的模，即相量的大小为

图2-7 复数的几何表示法

(www.xing528.com)

它对应于正弦交流电量的幅值或有效值。相量A·与实轴正方向的夹角为θ，θ=arctan（b/a），它对应于正弦交流电量的初相位。利用三角函数的关系，可求出复数的实部和虚部分别为

由式（2-11）可知，复数的实部表示相量在实轴上的投影，复数的虚部表示相量在虚轴上的投影。因相量在实轴或虚轴上投影的表达式与正弦交流电量的表达式相同，所以可以利用相量来表示正弦交流电量。即用复数的实部或者虚部来表示正弦交流电量的表达式。

利用三角函数的概念，可将复数写成三角式

式（2-12）称为复数的三角式，利用欧拉公式

可将复数的三角式写成指数式

式（2-14）称为复数的指数式。利用极坐标的概念，还可将复数的指数式写成极坐标式

式（2-15）称为复数的极坐标式，又称为相量式。复数的4种表达式是等效的，即

大家应熟悉这4种表达式之间的转换关系。在交流电路的计算中，相量的加减用代数式比较方便，相量的乘除用极坐标式比较方便，相量的微积分用指数式比较方便。

正弦交流电的三种表示法，在分析正弦交流电路问题时都要用到，波形图和三角函数式是正弦交流电的基本表示法，但在计算时较麻烦，不易得出准确的结果，一般用来描述函数的波形。相量表示法能清楚地表示出交流电路中各电量之间的大小和相位的关系，概念清晰，常用于对交流电路进行分析计算。

【例2-3】实验室的供电系统是三根相线，一根零线的三相四线制，该供电系统三相电源的绕组呈如图2-8所示的星形连接，从绕组的始端引出三根线，称为相线。从三个绕组末端的结合点引出的导线称为零线。已知三根相线的相电压（相线对零线的电压）分别为

图2-8 例2-3图

写出线电压（两根相线之间的电压）u_ab（t）、u_bc（t）、u_ca（t）有效值相量的表达式和解析式，并在相量图上画出u_a（t）、u_b（t）、u_c（t）、u_ab（t）、u_bc（t）、u_ca（t）的有效值相量。

解根据电位差的概念可知线电压和相电压的关系为u_ab（t）=u_a（t）-u_b（t），u_bc（t）=u_b（t）-u_c（t），u_ca（t）=u_c（t）-u_a（t），要写出u_ab（t）、u_bc（t）、u_ca（t）的有效值相量，必须先写出u_a（t）、u_b（t）、u_c（t）有效值相量的表达式，然后利用复数计算的方法求出相量、、，最后再画出相量图。根据三相交流电的表达式