威布尔分布参数的估计方法

通过实测风数据推算威布尔分布参数的数学方法很多，本文选取了几种常用的方法，准确度在可接受范围内的方法，供读者参考。一般的风资源分析软件都能求解威布尔分布参数，而不同的软件使用的方法可能不同。

参数估计问题是总体遵循的分布函数形式已知，但它的某些参数却未知，我们要对未知参数进行估计。之所以称之为估计，是因为我们只能用总体的一个样本来估计总体分布的参数。不论测风时间再长，也只是总体中的一个样本而已，显然样本的质量和数量对参数估计的准确度都有着重要影响。

1.线性回归法

利用对数变换将威布尔累计分布函数变换成线性形式^[47][48]。式（4-27)变换为

方程两侧同时取两次自然对数，得到

式中 v_i——第i个风速区间的风速中间值；

F（v_i)——第i个风速区间的发生概率。

令：

于是：

式中 k——线性方程的斜率；

c——y轴截距，c=kln（a)。

通过线性回归法即可分别求出k和a参数。线性回归法虽然简单，但可能误差较大。

可以通过作图的方法求出拟合直线的斜率和截距，因此线性回归法也称为图表法。由于计算机技术的发展，这种作图表法已经很少使用了。

2.均值标准差法

威布尔分布的两个参数还可以通过数据的均值和标准差求得。可以通过式（4-16)和式（4-19)求得实测风数据的均值v_ave和标准差σ_v。

通过式（4-24)和式（4-26)可以得出

通过上式可以求出k值，然后代入式（4-24)即可得a参数。

3.最大似然法

最大似然法是概率分布参数估计最常用的方法，其优点是具有不偏性和最小统计误差。最大似然法是通过选取参数a和k值，使如下似然函数最大化：

式中v_i——实测的风速。

首先要求出符合如下特性^[50]的威布尔形状参数k(www.xing528.com)

然后将k参数代入下式^[50]求得威布尔a参数：

还可以根据极大似然函数推导出如下方程组解析威布尔参数：

4.等能量密度法

等能量密度法是WAsP软件采用的方法，更像是工程方法而非数理统计方法。该方法的中心思想是确保最大限度地表达风的能量部分，因此通过如下两个条件估计威布尔分布的参数：

条件1：风能密度相等，即实测风数据与威布尔分布的风能密度相等；

条件2：大于平均风速的风频概率相同，即实测风数据与威布尔分布超越平均值的概率相同。

需要把这两个条件用数学的方法表达出来。根据条件1，由于风能与风速的三次方成正比，于是

式中 v_测——实测的平均风速；

v_威布尔——威布尔分布函数的平均风速。

可以推导出

因此：

条件2提供可求取k的方法。用X代表实测风速超过实测平均风速的概率，可以很方便的求得。根据条件2和式（4-30)可得X与k的关系式为

可变换成：

令k的初值为2，经过多次迭代运算，直到得到k的稳定解。

【例4-3】 根据某一实测的风数据统计得到风速大于年平均风速的概率为0.456，求威布尔分布的k参数。

将X=0.456带入式（4-46)，并令k的初值为2，得到第一次迭代的结果为

同理，将X=0.456带入式（4-46)，并令k=1。886，进行第二次迭代得k=1.910。以此类推，经过约5次迭代后k值稳定下来，最终得k=1.905。

等能量密度法对风数据的平均时长很敏感，因此根据风电的定义，仅适合10min平均的测风数据。

威布尔分布的参数估计还存在其他方法，如比较常见的矩估计法。不同软件模型采用的参数估计方法不尽相同，结果可能略有差别，有兴趣的读者可以进一步研究。