Pareto解集削减的优化流程

Pareto解集削减的关键在于所生成满意解集能否充分代表Pareto曲面上的决策者满意区域。换言之，就是生成满意区域内的最小Pareto解集，并各最小Pareto点的分布密度足以保证分析阶段的精度要求。同时还要考虑求解过程计算量大小，对满意解的分布密度要求过高，将导致计算成本过高。

根据式（2.4），相邻两条偏好函数的同一偏好区间边界值间的偏差为，显然，各边界值间的偏差不等，该方法生成的有效解集虽然不受Pareto曲面凸性限制，但即使给定的明晰权重集是均匀分布的，仍无法保证所求有效解在满意域内均匀分布。因此上述满意解集可能会漏掉决策者感兴趣的满意解。

（1）基于模糊加权物理规划的Pareto解集削减过程。为了获得模糊权重置信水平限定的满意域范围内的有效解集，本书提出基于模糊加权物理规划的Pareto解集削减方法的流程，如图2.6所示，具体步骤如下：

图2.6　基于模糊加权物理规划的Pareto解集削减方法的流程

①在确定权重模糊相对重要程度关系基础上，建立多目标优化问题的模糊加权物理规划模型，设定模糊权重的解集以确定Pareto解曲面上决策者感兴趣的区域；

②将模糊权重明晰化处理，得到明晰化权重向量，i∈N}。求解式（2.2），得到一系列gp在给定模糊权重置信水平限定的满意域范围内的不同偏好条件下的有效解，各gp的最大值和最小值，记作gpmax和gpmin；

③增加约束gpmin≤gp≤tpmax，建立新的多目标优化问题模型，设定各目标间的距离Δ，采用改进的Pareto遗传算法求解上述改进后的优化模型，产生一组满意区域内和附近的最小Pareto解，各最小Pareto点间的距离由决策者设定；

④以步骤②得到的满意解集和对应的权重集为训练样本，利用神经网络建立它们间的映射关系。将步骤③得到的Pareto解集代入步骤③得到的神经网络模型进行检验，计算各有效解对应的权重。若，保留该点；否则，删除。最终获得多目标优化问题的满意解集。

（2）基于改进Pareto GA的候选解集生成。Pareto解集削减的目的是为了得到Pareto曲面上满意区域的最小Pareto解集，而非均匀分布的Pareto解集。如图2.7所示，点1、2、3的一个目标值变化较大，而另一个目标值变化很小，几乎没有表达出两个目标间的折衷，反而造成了所生成的候选解过多，增加了后续的设计方案选择过程的计算负担，因此候选解集生成过程中必须筛除这些点，仅留下具有显著折衷性能的点。该过程可采用改进Pareto GA的方法实现[364-367]。Pareto GA是在常规GA的基础上增加以下内容扩展而得到的一种优化方法：基于Pareto非劣解概念的群体排序技术；基于共享机制的小生境技术；Pareto解集过滤器。

图2.7　双目标优化的Pareto前沿面

群体排序技术：由于进化过程中每一代群体中的非劣点具有同样的重要性。为了得到最优解，采用了群体分级的技术。在选择的开始阶段，种群中的每一个个体都会按照其在Pareto解集中的支配情况被赋予不同的等级。首先，考察整个群体，找到群体中所有未被支配的个体，作为第1级非劣点：然后，在剩下的个体中，选出未被支配的个体，作为第2级非劣点。这个过程持续下去直到整个群体分级完毕。每个个体的适应值可以取为该个体等级的倒数。这样，具有Pareto特性的个体其适应值最大，而等级越高的个体，其适应值越小。

小生境技术：可以防止遗传漂移，并使群体均匀地分布在Pareto最优解集中，保持种群的多样性。小生境技术的基本思想是首先定义一个关于两个个体之间关系密切程度的共享函数。当两个个体之间的关系比较密切时，共享函数值就大，反之，共享函数值就小。共享函数的定义为

式中，dXY是任意两个不同个体X和Y之间的Euclid距离；σshare为设定的距离参数；fshare（X，Y）是X和Y的共享函数。

对求解过程群体中聚集在一起的个体可以通过施加共享函数进行惩罚，使其适应值减小，从而使种群向均匀分布特性的方向进化。即

式中，n为群体规模；X是群体中的一个个体；Zi为群体中不同于X的其他任意个体；δ（X）、δ（X）share分别是施加共享函数前后个体X的适应值。

Pareto解集过滤器：为保证上一代中产生的优良个体遗传到子代，使父代中的一些性能优良的Pareto个体在子代中保存。其基本思路为将每一代中的等级为1的非劣点保留下来，存储在过滤器中。当过滤器中的解的数量超过了过滤器的设定容量时，进行排序，剔除过滤器中的一些劣解。如果剩下的非劣点的数量仍超过Pareto解集的规模，再采用小生境技术删掉那些与其他点距离最近的点，以保证过滤器中的解均匀分布。

基于改进Pareto GA的满意解生成过程的关键技术如下。(www.xing528.com)

①为了限定PGA的Pareto解集内的寻优方向，我们对多目标优化问题的模型进行如下修改。定义求解式（2.17）所获得的所有满意解中第p个目标的最大值和最小值为gpsmax、gpsmin，取gpsmax所在偏好区间的最大边界值tpsU和gpsmin所在偏好区间的最小边界值tpsL作为约束，建立如下多目标优化模型，以确保决策者满意区域信息不被遗漏。即

②设定满意解的弱有效区。所谓弱有效区是指在该区域内两个解之间的区别不大，不能体现出目标函数之间的折衷；或者一个目标函数的“微小改善”是以另外一个或多个目标函数性能的“巨大牺牲”为代价的区域。任意目标间的折衷性能可用折衷系数η表示为

显然，当η→1时，表示Pareto边界的强折衷性。否则，表示该Pareto边界区域表现弱折衷性，需筛除该处的Pareto点。如图2.8所示，双目标优化问题中，相邻Pareto点的目标值向量gi和gj的偏差表示为，由决策者设定两个过滤控制变量Δs、Δb，由于各个设计目标的单位和量级不同，一般Δs、Δb取值不同。图2.8中由Δs、Δb限定的区域为Pareto点的弱有效区。定义Pareto前沿面上相邻两点的距离向量为

图2.8　双目标优化的弱有效区定义

过滤过程通过对各Pareto点的目标值向量的两两比较实现的。判断以下两式是否同时满足，即

式中，Lmin、Lmax分别距离向量L的最大和最小元素值，若满足，表明gj落在gi的弱有效区内，应筛除。Δs、Δb可由决策者综合考虑生成点密度与计算负担的平衡后确定。

③Pareo解集的过滤。分别以未过滤掉的Pareto点为原点，执行相同的过滤过程。对新确定的最小Pareto点作如下判断，即

tpsL≤gp≤tpsU　(2.29)

若式（2.29）成立，则认为该最小Pareto点，是多目标优化问题的一个候选解。

（3）基于ANN模型的满意解集的检验。将上一步骤得到的一系列Pareto解称为多目标优化问题的候选满意解集。候选满意解集与Pareo曲面上决策者满意区域的关系如图2.9所示，显然，由tpsL≤gp≤tpsU限定的Pareo曲面上的区域包含模糊权重限定满意区域，因此必须筛除满意区域以外的候选解。这里通过判断候选满意解在模糊加权物理规划中的权重值是否落在其规定的取值范围内，来实现候选满意解集的筛选。

图2.9　候选满意解集与Pareto曲面上决策者满意区域的关系

首先建立满意解目标值与其权重的映射模型。由于BP神经网络具有能以任意精度逼近任意非线性函数、大规模并行处理和分布式信息存储，以及较高的学习速率、结构简单、易于编程处理[368，369]等特点，本书选用最常用的前向反馈BP神经网络建立满意解的检验模型。以步骤（2）得到的Pareto解集及其权重集作为样本训练神经网络。神经网络训练好后，将步骤（3）得到的候选满意解代入，输出各权重值。设wp在给定模糊权重置信水平下的上、下限为。对第i个候选解的第p目标的权重进行判断，即

若对任意p均有式（2.30）成立，则称候选解gi（x）为多目标优化问题的满意解。当Δ1、Δ2取值满足决策精度要求时，重复上述过程可获得多目标优化问题的满意解集。

上述方法主要是为了预防加权和法可能造成的Pareto解遗漏或者分布不均等情况，所生成的满意解集能够全面反映满意解信息，目标函数取值的提前限定相对减少了检验过程的工作量。