数制与进位规则：理解多位数的计数方式

在实际应用中，不同的数码既可以表示不同数量的大小，也可以表示不同的事物或同一事物的不同状态。

用数码表示数量的大小时，仅仅用一位数往往不够用，因而常常采用多位数。多位数码中每一位的构成和从低位向高位的进位规则称为数制或进位计数制。在数字电路中应用最多的是十进制、二进制、八进制和十六进制。

（1）十进制

在十进制中，每一位数有0到9十个状态，计数的基数是1。大于9的数就需要用两位以上的多位数表示。在多位数中，低位和相邻高位间的进位关系是“逢十进一”，所以称为十进制。

在多位数中，不同位置上的1代表的数量大小称为这一位的“权”。整数部分从低位到高位每位的权依次为100，101，102，…。小数部分从高位到低位每位的权依次为10-1，10-2，10-3，…。故，一个多位数的数值等于每一位数乘以它的权重，然后相加。

任意的十进制数可以表示为

式中，ki是第i位的系数，它可以为0到9中任意一个，m和n是正整数；ki，m，n均由（S）10决定，（S）的下标与式中的10是十进制的基数。由于基数为10，每个数位计满10就向高位进位，即逢十进一，所以称它为十进制计数制。

【例1.2.1】将457.25写成权表示的形式。

解：457.25=4×102+5×101+7×100+2×10-1+5×10-2

（2）二进制

在数字系统中，为了便于功能实现，广泛采用二进制计数制。这是因为二进制表示的数，每一位只取数码0或1，因而可以用具有两个不同状态的电子元件来表示，并且数据的存储和传送也可用简单而可靠的方式进行。二进制的基数是2，其计数规律是逢二进一。

任意一个二进制数可以表示为(www.xing528.com)

式中，ki只能取0或1，它由（S）2决定；m，n为正整数。

【例1.2.2】将（1011.01）2写成权表示的形式。

解：（1011.01）2=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2

（3）八进制和十六进制

采用二进制计数制，对于计算机等数字系统来说，运算、存储和传输极为方便，然而二进制数书写起来很不方便。为此，程序开发人员经常采用八进制数和十六进制计数制来进书写或打印。任意一个八进制数可以表示为

式中，ki可取0，1，2，…，7八个数之一，它由（S）8决定；m和n为正整数。八进制数的计数规律为逢八进一。

【例1.2.3】将八进制数（70.842）8写成权表示的形式。

解：（70.842）8=7×81+0×80+8×8-1+4×8-2+2×8-3

【例1.2.4】将十六进制数（8BE6）16写成权表示的形式。

解：（8BE6）16=8×183+B×162+E×161+6×160