薄壁圆筒的扭转分析

对于壁厚t远小于其平均半径γ0（一般认为）的圆筒，称为薄壁圆筒。取一薄壁圆筒，受扭前在其表面画上等间距的圆周线和纵向线，形成一些矩形网格，如图3.27（a）所示。在圆筒的两端面上施加外力偶，使其产生扭转变形。当外力偶矩Me由零缓慢增加时，两端面的扭转角也在不断增加。在小变形条件下，可以观察到以下变形现象：

（1）圆周线的形状、大小、间距均未改变，只是彼此绕轴线发生相对转动。

（2）纵向线都倾斜了相同微小角度γ，原来的矩形网格变成了平行四边形，如图3.27（b）所示。这种直角的改变量γ称为切应变。

根据以上的变形现象，可以得出下面的推论和假设：

（1）由于圆周线形状、大小不变，说明代表横截面的圆周线仍为平面。因此可以假设，薄壁圆筒扭转时，变形前为平面的横截面变形后仍保持平面。这一假设，称为平面假设。

（2）由于圆周线间距不变，且其形状、大小不变，可以推断：横截面和纵向截面上没有正应力。

（3）由于圆周线仅绕轴线相对转动，且使纵向线有相同的倾角，说明横截面上有切应力，且同一圆周上各点的切应力相等。由于筒壁厚度t很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布。

图3.27(www.xing528.com)

（4）由于矩形网格的直角改变量——切应变γ的方向位于圆周切线方向，说明切应力的方向是沿着圆周切线方向。

综上所述，薄壁圆筒扭转时，横截面上将产生切应力，且切应力在截面上均匀分布，其方向与圆周相切，如图3.27（c）所示。

设薄壁圆筒的任一横截面上的扭矩为T，该截面上各点切应力τ的分布如图3.28所示。由于扭矩T是横截面上分布内力系的合力偶矩，因此由切应力τ组成的内力系对截面形心O之 矩应等于该截面上的扭矩T，即

由于τ为常量，r用薄壁圆筒的平均半径r0代替，这样上式左边就改写为；而积分，是圆筒横截面的面积，将其代入式（3.15），得

2πr0tτr0＝T

故　

式（3.16）就是薄壁圆筒扭转时横截面上切应力τ的计算公式。