平面应力状态分析的方法描述

如图5.3（a）所示的单元体，因外法线与z轴重合的平面上其切应力、正应力均为零，那么说明该单元体至少有一个主应力等于零，因此该单元体处于平面应力状态。为便于研究，我们只取其中平面abcd来代替单元体的受力情况[图5.3（b）]。任意斜截面的表示方法及有关规定如下：

（1）用x轴与截面外法线n间的夹角α表示该截面。

（2）α的正负号：由x轴向n旋转，逆时针方向为正，顺时针方向为负[图5.3（b）的α为正]；

（3）σα的正负号：拉应力为正，压应力为负。

图5.3

（4）τα的正负号：τα绕截面内侧任一点旋转，顺时针转向为正，逆时针转向为负。

计算任意斜截面上的应力有两种方法：解析法和图解法。

1.解析法

因研究的构件是平衡的，因此从构件内一点取单元体，并从单元体上取一部分[图5.3（c）]，则该部分也处于平衡；由平衡条件可以求得平面应力状态下单元体任意斜截面上的应力计算公式为

应用上式计算σα、τα时，各已知应力σx、σy、τx和α均用其代数值。

【例5.1】 求图5.4所示各点应力状态下指定斜截面上的应力（各应力单位是MPa），并用图表示出来。

图5.4

解：（1）已知：σx＝30MPa，σy＝－40MPa，τx＝60MPa，α＝30°，将各数值代入式（5.1）、式（5.2）得斜截面上的应力为

将σ30°、τ30°方向画在斜截面上如图5.4（b）所示。

（2）已知：σx＝－80MPa，σy＝0，τx＝－40MPa，α＝120°，则

σ120°、τ120°方向如图5.4（d）所示。

2.图解法

用图解法计算斜截面上的应力，需要先作“应力圆”。

将式（5.1）改写为

再将上式和式（5.2）两边平方，然后相加，并应用sin2 2α＋cos2 2α＝1，便可得出

对于所研究的单元体，σx、σy、τx是常量，σα、τα是变量（随α的变化而变化），故令σα＝x、τα＝y、、，则式（5.3）变为如下形式：

（x－a）2＋y2＝R2

由解析几何可知，上式代表的是圆心坐标为（a，0），半径为R的圆，因此式（5.3）是一个圆的方程；若取σ为横坐标，τ为纵坐标，则该圆的圆心为，半径是， 这个圆称为“应力圆”。因应力圆是莫尔（O.Mohr）于1882年最先提出的，所以又叫莫尔圆。应力圆上任一点坐标代表所研究单元体上任一截面的应力，因此应力圆上的点与单元体上的截面有着一一对应关系。

现说明作应力圆的方法。(www.xing528.com)

图5.5

取坐标轴为σ、τ的直角坐标系[图5.5（b）]，按一定的比例尺量取OA＝σx，AD1＝τx，OB＝σy，BD2＝τy；连接D1、D2，与σ轴交于C点，以C为圆心，CD1（或CD2）为半径画一圆，很容易证明，这个圆即为所求的应力圆。因为

即圆心在；又因

所以圆的半径

利用应力圆可求得所研究单元体上任意一个截面α上的应力。由于应力圆参数表达式（5.1）、式（5.2）的参变量是2α，所以单元体上任意两斜截面外法线之间的夹角对应于应力圆上两点之间圆弧所对的圆心角，该圆心角为两斜截面外法线之间夹角的两倍。如要确定图5.5（a）斜截面de的应力，由应力圆上的D1点（该点对应于截面ab）沿逆时针量取圆心角∠D1CE＝2α，则E点的横、纵坐标分别代表de截面上的σα、τα。证明如下：

过E点作EF垂直σ轴，则

OF＝OC＋CF＝OC＋CE cos（2α＋2α0）

＝OC＋CE cos2α0 cos2α－CE sin2α0 sin2α

＝OC＋CD1 cos2α0 cos2α－CD1 sin2α0 sin2α

＝OC＋CA cos2α－AD1 sin2α

＝＋cos2α－τx sin2α＝σα

即E点的横坐标等于斜截面上的正应力。同理可证，E点的纵坐标等于斜截面上的切应力。

【例5.2】 用图解法求解[例5.1]。

解：（1）按单元体上的已知应力作应力圆如图5.6（b）所示。

图5.6

指定斜截面的外法线与σx间的夹角α＝30°，从应力圆上的D1点逆时针量取圆心角60°得E点，量出E点的横、纵坐标得

σE＝－40MPa、τE＝60MPa。

（2）作应力圆如图5.7（b）所示。

图5.7

指定斜截面的外法线与σx间的夹角α＝120°，也可以是α＝－60°，从D1点逆时针量取圆心角240°或顺时针量取120°，得E点，量得

σE＝－55MPa、τE＝55MPa

由以上例题看出，利用应力圆确定单元体任意斜截面上的应力时，应注意应力圆上的点与单元体斜截面位置之间的对应关系，即单元体的两个截面ab、cd外法线的夹角若为β，则应力圆上相应的点A、B之间的圆弧所对的圆心角为2β（图5.8），而且两个角度按同一转向量取。

图5.8

用图解法解题，简洁明快，但精度有限，如果要求较高的精度，则需用解析法。