平面应力状态下的主平面与主应力的计算方法

主平面是特殊的斜截面，它上面只有正应力而无切应力，根据这个特点，确定主平面的位置及主应力的大小。

1.解析法

由式（5.2），令τα＝0，便可得出单元体主平面的位置；设主平面外法线与x轴的夹角为α0，则

其中α0有两个根：α0和（α0＋90°），因此说明平面应力状态有两个主平面，且互相垂直。

如果对式（5.1）令，经简化得

图5.9

上式左边等于τα，因此τα＝0，表明两个主应力是所有截面上正应力的极大值和极小值即σmax和σmin。

为求出主应力的数值，用图5.9所示的三角关系，代入式（5.1），简化后便可得到主应力计算公式为

由上式得出应力有两个，由式（5.4）计算出的角度α也是两个，那么α0是x轴和σmax还是和σmin之间的夹角，可按以下法则来判断：

（1）当σx＞σy时，α0是x轴与σmax的夹角。

（2）当σx＜σy时，α0是x轴与σmin的夹角。

（3）当σx＝σy时，α0＝45°，主应力的方位可由单元体上切应力的情况判断[图5.10（a）、（b）]。

图5.10

应指出：用以上法则时，由式（5.4）计算的2α0应取锐角（正或负）。

因为平面应力状态至少有一个主应力等于零，因此可根据σmax、σmin的正负号确定σ1、σ2、σ3：(www.xing528.com)

（1）σmax、σmin均为正值，则σ1＝σmax，σ2＝σmin，σ3＝0。

（2）σmax、σmin均为负值，则σ1＝0，σ2＝σmax，σ3＝σmin。

（3）σmax为正值、σmin为负值，则σ1＝σmax，σ2＝0，σ3＝σmin。

2.图解法

利用应力圆很容易确定主应力与主平面方向。应力圆与σ轴的交点A1、A2[图5.11（b）]的纵标τ等于零，所以该点对应于单元体上的截面为主平面，该点的横坐标即为主应力的值。又因OA1＞OA2，那么A1、A2分别对应σmax、σmin。由于D1代表单元体上的x平面，则圆心角∠D1CA1的一半——也就是圆周角∠D1 A2 A1为主平面（σmax所在的平面）的方位角。如果想在应力圆上画出主应力σmax的真实方向，必须把A2 D1转一个角度，使A2D1与σ轴重合，相应的，A1点转到D点（由几何关系知，为此可延长D1 A，与应力圆交于D点），连接A2 D，则A2 D为σmax的真实方向。

图5.11

图5.12

由于σmax、σmin与α0或（α0＋90°）的对应关系在应力圆上一目了然，故利用图解法时不需要再用“法则”进行判断。

【例5.3】 试用解析法求图5.12（a）所示应力状态的主应力及其方向，并在单元体上画出主应力的方向（应力单位：MPa）。

因σx＜σy，所以从σx（x轴）逆时针方向量取13°17＇即为σmin的方向，画到单元体上如图5.12（b）所示。

【例5.4】 试用图解法计算上例。

解：根据已知条件画出应力圆如图5.13所示。量得OA1＝σmax＝55 MPa，OA2＝σmin＝－35 MPa。

因D1点对应于x截面，所以D1A2弧所对的圆周角∠D1A1 A2即为σmin的方位角，量得α0≈13°。在应力圆上的真实方向为A1 D。

图5.13

图5.14