冲击荷载与应力的机械能守恒法求解

具有一定速度的物体向静止构件冲击时，冲击瞬间冲击物速度发生急剧变化，与被冲击物之间发生很大的相互作用力，工程上称为冲击力或冲击荷载。由于冲击过程中，构件的应力和变形比较复杂，很难精确计算冲击荷载的大小，为简化分析通常作如下假设：

（1）假设冲击物为刚体，即不计冲击物本身变形引起的应变能；冲击物和被冲击物相互作用后一起运动，不发生回弹。

图8.3　杆件受冲击

（2）不考虑冲击过程中被冲击物的动能，被冲击构件为弹性变形。

（3）冲击过程中没有其他形式的能量转换，遵循机械能守恒定律。

下面举例来说明通过机械能守恒求解冲击荷载和冲击应力的方法。

【例8.1】 如图8.3（a）有重量为P的重物，从距杆端高度为h处自由落下，冲击到固定在等截面直杆下端B处的固定圆盘上，杆AB长度为l，截面面积为A，弹性模量为E，求冲击物速度减小到零时冲击荷载和杆横截面上的冲击应力。

解：假设冲击物速度减小到零时，冲击荷载的大小为Fd，B端产生的位移为Δd，重物下落过程中减少的势能为Ep，则

根据前面的假设，杆件被冲击后仍处在弹性范围内，因此有

则杆内的应变能为

根据机械能守恒

将式（a）和式（c）代入式（d），得

即

将方程式（f）中的各项除以EA得

如果令重物P作为静荷载作用在杆下端的圆盘时，杆B端的静位移为Δst，则有，于是式（g）可以化为

从而得

因为Δd事实上大于Δst，因此上式取正号，引入符号，则(www.xing528.com)

Kd称为冲击动荷因数，它反映了冲击荷载与静荷载大小的比值。于是根据式（b）和式（j），可得冲击荷载Fd为

即

令重物P作为静荷载作用在杆下端的圆盘时，杆横截面应力为σst，则杆横截面冲击应力σd为

图8.4　刹车冲击

由上可知冲击位移、冲击荷载及冲击应力的大小为相应的静位移、静荷载及静应力的值乘以冲击动荷因数。根据动荷因数的表达式可以看出增大静位移Δst可以减小冲击动荷因数，因此工程中经常在杆B端与圆盘之间加设缓冲弹簧，以减小冲击荷载。

【例8.2】 如图8.4所示，AB轴在A端突然刹车（即A端突然停止转动），试求轴内最大动应力。设轴长为l，轴截面直径为d，面积为A，切变模量为G，飞轮角速度为ω，转动惯量为Ix。

解：A端紧急刹车时，B端飞轮转速急剧下降，惯性力导致AB轴受扭冲击，发生扭转变形，在冲击过程中，飞轮的角速度最后降为零，它的动能全部变为轴的应变能。飞轮的动能改变为

设轴B端最大冲击扭矩为Td，则AB轴的扭转应变能的增量为

根据机械能守恒有

由此得到

轴内最大扭转冲击切应力为

对于圆轴

因此

可见冲击时轴内最大动应力与轴的体积Al有关，体积越大，最大动应力越小。