平面图形的静矩和形心优化

A.1.1　静矩

图A.1

图A.1所示的平面图形代表一任意截面，其面积为A。坐标系y Oz为图形所在平面内的坐标系。任意取微面积d A，其坐标为（y，z）。遍及整个图形面积A的积分

则分别定义为平面图形对于z轴和y轴的静矩，也称为图形对z轴和y轴的一次矩。

由定义可知，平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。静矩可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲是长度的三次方，常用单位为m3或mm3。

A.1.2　形心

由几何学可知，任何图形只有一个几何中心，我们把图形的几何中心简称为形心。平面图形形心位置的确定，可以借助于理论力学求均质薄板重心位置的方法来确定。

对于均质薄板，当薄板的厚度极其微小时，其重心就是该薄板平面图形的形心。若用C表示平面图形的形心，zc和yc表示形心的坐标（如图A.1），根据理论力学中求均质薄板的重心公式，则有

由于式（A.2）中的积分和为公式（A.1）中的静矩，则有

若已知平面图形对y轴和z轴的静矩及其面积时，即可按式（A.2a）确定截面形心在yoz坐标系中的坐标。反过来，若将（A.2a）改写为

则在已知平面图形面积及其形心在yoz坐标系中的坐标时，即可按式（A.2b）计算该平面图形对于y轴和z轴的静矩。

讨论：若平面图形对于某轴的静矩为零（即Sz＝0或Sy＝0），则该轴必然通过截面的形心（即yc＝0或zc＝0）；反之，若某轴通过截面的形心，则截面对于该轴的静矩一定为零。由于平面图形的对称轴通过形心，所以平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。

在实际计算中，对于简单图形，例如矩形、圆形和三角形等，其形心位置可直接判断，面积可直接计算，这时可直接用式（A.2b）计算静矩。而如果一个图形是由若干个简单图形组合而成时，可根据静矩的定义，先将其分解为若干个简单图形，算出每个简单图形对于某一轴的静矩，然后求其总和，即等于整个图形对于同一轴的静矩，具体公式为

式中：Ai和yci、zci分别代表任一简单图形的面积及其形心在yoz坐标系中的坐标，n为组成该截面的简单图形的个数。

根据静矩和形心坐标的关系，还可以得出计算组合图形形心坐标的公式为

【例A.1】 求图A.2所示的半圆对其直径轴（y轴）的静矩及形心坐标yc。(www.xing528.com)

解：取平行于y轴的狭长条作为微面积

d A＝2R cosθd z

因为　z＝R sinθ，d z＝R cosθdθ

所以　d A＝2R2 cos2θdθ

则图形对y轴的静矩

形心坐标yc为

【例A.2】 求图A.3所示倒T形截面形心C的位置。

图A.2

图A.3

解：因图形对称，其形心在对称轴y轴上，即xc＝0。只需计算yc值。

选取坐标系yox如图A.3所示，将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，每个矩形的面积和形心位置为：

A1＝50×200＝10000（mm2）

yc1＝50＋100＝150（mm）

A2＝50×150＝7500（mm2）

yc2＝25（mm）