贝塞尔曲线拟合方法简介

假设机器人运动过程中因障碍物D阻挡，无法直线到达，需要从A绕行到B然后继续前进，C设为曲线上一点且为离障碍物最近的点。为了防止机器人绕行过程中碰到障碍物D，将的距离设为l，保证连接点C处曲率连续过渡，利用贝塞尔曲线进行平滑拟合。

贝塞尔曲线的一般表达式为：

其中：i代表了拟合过程中过渡点的个数，个数越多说明拟合的曲线越平滑；t代表了变动因子，决定了拟合曲线的形状、曲率；通常取i=4，除了两个端点外，中间确定两点进行拟合。

设4个点的坐标分别为P0（x0，y0）、P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、P3（x3，y3），因此曲线的参数方程为：

只要确定几个点的坐标，贝塞尔曲线就可以生成。

为了得到满足两段曲线之间的重合点处二阶导数连续，也就是曲率连续的贝塞尔曲线拟合，需要在传统的贝塞尔曲线生成过程中做一些设计。

贝塞尔曲线如图7-9所示为相交的两条直接，在此处进行曲线拟合。A0、A1、A2、A3为第一段贝塞尔曲线的4个控制点；B0、B1、B2、B3为第二段贝塞尔曲线的控制点。β为曲线切向量的角度变化，γ为两直线的夹角，这两个角是设计需要考虑的。d1、d2为两直线部分需要曲线拟合的程度，大小将决定了的曲线的曲率等参数。设计的过程可参照如下公式：

所以，控制点的坐标都可以表示出来：

其中，

如果d1、d2确定了，也就是开始转向的位置确定后，转向角β根据公式能确定。因此，对应的两段贝塞尔曲线的总共8个控制点的坐标就确定了，生成曲率平滑过渡的避障曲线。

考虑最简单的情况，设在这种条件下（7-14）可变为：

这样，我们只需确定d=d1=d2，得到β角，就能生成符合要求的曲率平滑过渡曲线。

根据之前所述，机器人在循迹过程中对路线是有一定曲率要求的。如果生成的曲线不满足最大曲率的要求，那么设计出来的曲线仍是不实用的。(www.xing528.com)

因此，我们在确定d的时候，还要考虑最大曲率的约束，得到d的取值范围。由曲线的几何特性易知，在两段曲线的交汇点A3（B3）处，曲率最陡，曲率最大。

根据贝塞尔曲线的参数方程，第一段曲线的终止点A3处的一阶、二阶导数分别为：

由曲率公式可得：

将各点的坐标代入推导可得：

将代入公式可得：

因此d需满足的条件为其中根据之前讨论的曲率与机器人的几何参数、运动学参数的约束关系代入设计条件中，得到曲线拟合的起始点A0、终止点B0，就能规划出满足要求的避障平滑过渡曲线。

除了曲率要求外，还有几何约束。如图7-9所示，A3点为机器人运行路线上离障碍物最近的点，所以必须满足条件由余弦定理可得：

图7-9　贝塞尔曲线拟合

以上为设计贝塞尔曲线需考虑的两个约束条件。

因此考虑曲率和几何约束的贝塞尔曲线拟合的步骤可归纳如下：

（1）根据机器人出弯后的姿态要求确定角度变化γ，得到两段曲线的切向量变化角度β。

（2）根据机器人对曲率的约束要求、防碰撞几何约束要求计算d满足的要求，然后取一个适当的值。

（3）根据公式计算贝塞尔曲线各控制点的坐标值，根据贝塞尔曲线生成公式生成拟合曲线。