果——平面力偶系的平衡条件

任务介绍

汽车上的一些重要零件和螺栓的安装都有相关规定或技术规范，其制定依据是汽车在工作过程中的受力情况。汽车零件在工作过程中承受的负荷不只是用一个简单的力所能包括的，而往往是以力的另一种表现形式存在，如力矩、力偶等。

学习目标

1.理解力矩及力偶的概念。

2.能对固定端约束受力分析。

3.能理解并应用合力矩定理。

4.能够应用平衡方程求解平面力偶系的平衡问题。

相关知识

一、力矩

人们从实践中知道，力的外效应作用可以产生移动和转动两种效应。由经验知道，力使物体转动的效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点（或作用线）的位置有关。力对点之矩称为力矩。现以扳手拧螺母为例（图1-23）来说明力矩的概念。当拧紧螺母时，力F对螺母拧紧的转动效果不仅与力F的大小有关，而且与转动中心O至力F的作用线的垂直距离h有关。因此，可用F与h的乘积来度量力F使物体绕O点转动的效果，并称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号MO（F）表示。

由于在平面问题中，力使物体绕矩心转动有两种可能，或逆时针或顺时针，为区别两种转向，一般规定：力使物体绕矩心逆时针转动为正，反之为负。其表达式为

O点称为力矩中心，简称矩心。矩心O到力F作用线的垂直距离h称为力臂。力矩的国际单位制单位为N·m。

图1-23　扳手

根据定义，图1-23中所示的力F1对点O的矩为

由定义知，力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。

力对点的矩在两种情况下等于零：①力为零；②力臂为零，即力的作用线过矩心。

二、合力矩定理

在计算力系的合力对某点的矩时，除根据力矩的定义计算外，还常用到合力矩定理，就是平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对于同一点力矩的代数和，即

图1-24　力矩

例1-5　如图1-24所示，已知Fn、α、r，试计算力Fn对轮心O的力矩。

解：

1）直接计算为

2）利用合力之矩定理计算为

例1-6　如图1-25（a）所示，圆柱直齿轮的齿面受一啮合角α=20°的法向压力Fn=1kN的作用，齿面分度圆直径d=60mm。试计算力对轴心O的力矩。

图1-25　圆柱直齿轮

解1：

按力对点之矩的定义，有

解2：

按合力矩定理，将Fn沿半径的方向分解成一组正交的圆周力与径向力，有

三、力偶和力偶矩

1.力偶的概念

在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、方向相反但不在同一作用线上的平行力作用。例如，图1-26所示的驾驶人转动转向盘及如图1-27所示的钳工对丝锥的操作等。

图1-26　驾驶人转动转向盘

图1-27　丝锥的受力

一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶。由以上实例可知，力偶对物体作用的外效应是使物体单纯地产生转动的变化。

力偶用符号（F，F'）表示。力偶中两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶的作用面。

2.力偶矩

力偶对物体的转动效应取决于力偶中力的大小和力偶两力之间的垂直距d，因此用二者的乘积来度量力偶对物体的转动效应，这个乘积称为力偶矩，并记为M，即

式中：d——力偶臂，m；

F——力的大小，N。

与力矩相似，力偶矩也是有方向的，一般规定，逆时针转向的力偶矩取正值，顺时针取负值（图1-28）。力偶矩的单位为N·m。

图1-28　力偶的方向

四、固定端约束

一端固定，另一端为自由的支座称为固定端约束。它可以使构件的某截面既不能转动（绕垂直于载荷作用面的轴转动），又不能移动。如图1-29（a）、（b）所示，车床上的刀架和夹紧工件的自定心卡盘等均可简化为固定端约束。这种约束的特点：限制物体受约束的一端既不能向任何方向移动，又不能转动。物体插入部分受力分布比较复杂，但无论它们如何分布，当主动力为一平面力系时，这些约束反力都为平面力系。若将此力系向A点简化，则得到一约束反力FA和一约束反向力偶MA。约束反力FA的方向预先无法判定，通常用互相垂直的两个分力Fx和Fy表示；约束反力偶MA的转向，通常假设逆时针转向为正，如图1-29（c）所示。

图1-29　固定端约束(https://www.xing528.com)

显然，Fx、Fy代表了约束对杆件左右、上下移动的限制作用，MA表示约束对杆件转动的限制作用。Fx、Fy和MA的大小和方向可通过平面任意力系的平衡方程来确定。

五、平面力偶系的合成与平衡条件

1.平面力偶系的合成

力偶系的合成作用在物体上同一平面内的多个力偶，称为平面力偶系。显然，平面力偶系合成的结果仍是一力偶。

设在刚体某平面上有力偶M1、M2的作用，如图1-30（a）所示，现求其合成的结果。

图1-30　平面力偶系的合成

在平面上任取一线段AB=d作为公共力偶臂，并把每个力偶化为一组作用在A、B两点的反向平行力，如图1-30（b）所示，根据力系等效条件，有

于是在A、B两点各得一组共线力系，其合力为，如图1-30（c）所示，且有

与为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，所以有

若在刚体上有若干力偶作用，采用上述方法叠加可得合力偶矩为

式（1-9）表明：平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。

2.平面力偶系的平衡条件

平面力偶系合成的结果为一力偶，因为力偶与力不能构成平衡，只有合力偶矩为零时，平面力偶系才能处于平衡状态。

因此，平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即

此式称为平面力偶系的平衡方程。

例1-7　梁AB受一主动力偶作用，其力偶矩M=100N·m，梁长l=5m，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

图1-31　简支梁

解：

1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图，FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行，如图1-31（b）所示。

2）列平衡方程

例1-8　在一钻床上水平放置工件，在工件上同时钻4个等直径的孔，AB两端的距离为0.2m，每个钻头的力偶矩为m1=m2=m3=m4=15N·m，如图1-32所示，求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力。

图1-32　工件受力示意图

解：

1）各力偶的合力偶矩为

2）由力偶只能与力偶平衡的性质，力FA与力FB组成一力偶。

根据平面力偶系平衡方程有

任务小结

1）力矩的概念：力对具有转动中心的物体所产生的转动效应称为力对点之矩，记作

2）合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对于同一点力矩的代数和，即

3）力偶及力偶矩：力偶为一对等值、反向且不共线的平行力，它对物体的作用是产生单纯的转动效应。力偶有3个要素，即力偶矩的大小、力偶在平面内的转向与力偶的作用面。力偶矩可以记作

4）平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即

拓展提高

力偶的三要素和特性

因为力偶对物体的转动作用取决于力偶矩，所以在同一平面内凡是力偶矩相同的力偶，它们一定是等效力偶。由此推出：力偶可以在其作用面内任意移动和转动，而不改变它对物体的作用；在不改变力偶矩的大小和转向的条件下，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的大小，而不改变它对物体的转动作用效果。可见，力偶对物体的作用效果，由以下3个要素决定：

1）力偶矩的大小。

2）力偶在作用平面内的转向。

3）力偶的作用面。

由此可知，力偶的特性：

1）力偶没有合力，因此力偶不能与一个力平衡，它必须用力偶来平衡。

2）力偶对物体的转动效果可用力偶矩来度量。

3）凡是三要素相同的力偶都是等效力偶，它们可以互相代替。

应注意，力矩与力偶是有区别的。力矩与力偶都能使物体转动状态改变，这是它们的共性。但力矩使物体的转动效应与矩心的位置有关，而力偶对其作用面内任一点的矩为一常数，即等于其力偶矩。

力和力偶是两个基本力素。