扭转刚度的条件与措施

圆轴扭转时,除需要满足强度条件外,有时还需要满足刚度条件。例如,机器的传动轴若扭转角过大,将会使机器在运转时产生较大的振动。刚度要求通常是限制其单位长度扭转角最大值θmax不超过某一规定的允许值[θ],即

对于等直圆轴

式(3.25)就是等直圆轴在扭转时的刚度条件,其中许可单位扭转角[θ]的单位为rad/m。此外,工程上[θ]的单位还经常用(°)/m,此时,应把式(3.25)不等式左端的rad/m换算为(°)/m,即

各种圆轴类零件的[θ]值可在有关的机械设计手册中查到:对于一般的传动轴,[θ]=(0.5~1.0)(°)/m;对于精密机械中的轴,[θ]=(0.15~0.5)(°)/m;对于精度要求不高的轴,[θ]=(1.0~2.5)(°)/m。

根据刚度条件式(3.26),可对实心或空心圆截面传动轴进行刚度计算,即校核刚度、设计截面尺寸和计算许可载荷。一般机械设备中的轴,通常是先按强度条件确定轴的尺寸,再按刚度条件进行刚度校核。精密机械对轴的刚度要求很高,其截面尺寸的设计往往是由刚度条件控制的。

【例3.6】在【例3.3】中,若规定该传动轴的许可单位长度扭转角[θ]=0.3(°)/m,切变模量G=80 GPa。试按刚度要求确定实心轴的直径D。

【解】在【例3.3】中已经求得Tmax=954.9 N·m,由刚度条件式(3.26)及式(3.15)得

因此,按刚度要求,实心轴直径可取为69 mm。对照【例3.5】中对实心轴的计算,可见,按照刚度要求确定的直径D=69 mm大于按照强度要求确定的直径D=50 mm,即刚度成为控制因素。这在刚度要求较高的机械设计中是经常出现的。

【例3.7】图3.17(a)为装有4个皮带轮的一根直径D=105 mm的实心轴的计算简图,已知MA=4.5 kN·m,MB=9 kN·m,MC=3 kN·m,MD=1.5 kN·m,各轮间的距离l1=0.8 m,l2=1.0 m,l3=1.2 m,设材料的切变模量G=80 GPa。试求轮A与轮D之间的相对扭转角。

【解】(1)先求各段的扭矩,用截面法或直接法求得AB、BC、CD各段的扭矩分别为4.5 kN·m,-4.5 kN·m,-1.5 kN·m,画出扭矩图如图3.17(b)所示。

(2)计算相对扭转角。

故轮A与轮B之间的相对扭转角(www.xing528.com)

轮B与轮C之间的相对扭转角

轮C与轮D之间的相对扭转角

所以,轮A与轮D之间的相对扭转角为

图3.17　例3.7图

【例3.8】已知某空心圆轴的外径D=80 mm,壁厚δ=10 mm,承受外力偶作用而发生扭转变形。该轴材料的许用切应力[]=80 MPa,许可单位扭转角[θ]=2(°)/m,切变模量G=80 GPa,试问该空心轴所能承受的最大扭矩是多少?

【解】(1)按强度条件确定最大扭矩,由式(3.20)和式(3.18)可得

按强度条件,该空心轴能够承受的最大扭矩为5 495 N·m。

(2)按刚度条件确定最大的扭矩,由式(3.26)和式(3.17)可得

按刚度条件,该空心轴能够承受的最大扭矩为7 668.6 N·m。

综上,该空心轴所能承受的最大扭矩取小值,即[T]=min {T1,T2}=5 495 N·m。