基于正应力强度和强度计算的优化方法

为了保证梁能安全地工作,应使梁横截面上的最大正应力σmax不超过材料的单向受力时的许用应力[σ]。

对于钢材等塑性材料组成的梁,因拉压同强度,所以其中性轴通常为对称轴,其正应力强度条件为

应用式(6.10)正应力强度条件,可解决以下3类强度计算问题。

1.校核强度

当梁上载荷(Mmax)、梁及截面形状尺寸(Iz、Wz)以及材料许用应力([σ])均为已知时,检验梁是否满足强度条件。也就是说,验证强度条件式(6.10)中的不等式是否成立,并由此判断梁的强度是否满足,即

2.截面设计

当梁上载荷(Mmax)、材料许用应力([σ])均为已知时,可由式(6.10)先确定梁的抗弯截面系数Wz,再根据所选的截面形状特征,进一步确定截面的几何尺寸或查型钢表确定型钢的型号。

3.确定许可载荷

当梁及截面形状尺寸(Iz、Wz)以及材料许用应力([σ])均为已知时,可由式(6.10)先确定梁所能承受的许可最大弯矩(Mmax),再由Mmax与载荷间的静力平衡条件确定梁所能承受的最大载荷。

下面分别举例说明它们的应用。

【例6.2】图6.6(a)所示的外伸梁,选用28a号槽钢,[σ]=170 MPa,试校核强度。

图6.6　例6.2图

【解】(1)求支反力。

根据梁的整体平衡方程,求得FAy=6.75 kN,FBy=20.25 kN。

(2)作剪力图、弯矩图,求最大弯矩。

如图6.6(b)所示,由于该题只给出了梁的许用正应力[σ],因此只需对其进行弯曲正应力强度条件的计算即可,也可以不作剪力图,而直接作出弯矩图。由图6.6(c)可得,最大弯矩为

(3)弯曲正应力强度条件的应用。

查附录型钢表,可得28a号槽钢的抗弯截面系数Wz=35.7 cm3,将其代入式(6.10),计算最大弯曲正应力,即

由此可见,梁内最大弯曲正应力σmax=189.1 MPa超过了28a号槽钢的许用应力[σ]=170 MPa,不满足强度条件。

重新选择28b号槽钢,查表得Wz=37.9 cm3,则

仍不满足强度条件。

再重新选择28c号槽钢,此时Wz=40.3 cm3,则

所以,选择28a号槽钢强度不够,要选择28c号槽钢才能满足强度要求。

【例6.3】图6.7(a)所示的外伸梁,h=2b=20 cm,[σ]=160 MPa,求许可载荷[P]。

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图6.7　例6.3图

所以,最大许可载荷为[P]=26.67 kN。

【例6.4】试分别按给定的3种条件对图6.8(a)所示简支梁进行截面尺寸设计。已知梁的[σ]=160 MPa,l=4 m,q=10 kN/m。3种条件分别为:(1)设计圆截面,直径为d;(2)设计b∶h=1∶2的矩形截面;(3)设计工字形截面。并说明哪种截面最省材料。

【解】作梁的内力图,并由弯矩图6.8(c)可知:最大弯矩在剪力为0的截面处,则

若按条件(2)设计b∶h=1∶2的矩形截面,则有

解得b≥47.25 mm,对应的横截面积A≥bh=2b2=2 232.28 mm2。

若按条件(3)设计工字形截面,则有

通过查表选择12.6号工字钢,其Wz=0.775×105 mm3,面积为A=1 811.80 mm2。

通过对上面3种形状截面面积大小的比较,可知采用工字形截面最省材料。

图6.8　例6.4图(M图按机械类规定)

对于铸铁等脆性材料组成的梁,因许用拉应力[σt]和许用压应力[σc]不相同,所以工程上通常把梁的横截面制成中性轴为非对称轴的形状,是为了充分发挥材料的性能,如图6.9所示的T字形截面。

图6.9　T形截面梁的弯曲正应力分布

此类情形下应分别对最大拉应力σt,max和最大压应力σc,max危险点进行计算,即

【例6.5】铸铁梁的横截面为T形,所受载荷、截面尺寸、截面摆放方式如图6.10(a)所示,已知y1=70 mm,IzC=4.65×107 mm4,铸铁的许用拉应力为[σt]=25 MPa,许用压应力为[σc]=50 MPa。(1)试校核铸铁梁的强度;(2)若将T形铸铁梁倒置摆放,请再校核该梁的强度。

图6.10　例6.5图(M图按机械类规定)

【解】 由静力学平衡方程,求出梁的支座反力为

绘出梁的弯矩图如图6.10(b)所示。

由于T形截面的中性轴z为非对称轴,铸铁为脆性材料,因此在同一横截面上的最大拉应力和最大压应力的值并不相等。在此,必须由式(6.11)分别对最大拉应力σt,max和最大压应力σc,max危险点进行计算。

梁的最大拉应力σt,max可能出现在两个位置:截面(截面D)的下边缘,或截面(BC段截面)的上边缘,即