平面和立体表面交线探析

平面与立体表面相交所产生的交线称为截交线。该平面称为截平面，由截交线所围成的平面图形称为截断面，由于截交线既属于截平面，又属于立体表面，所以截交线是截平面与立体表面共有线，截交线上每一点均为截平面与立体表面的共有点，每个立体都是有一定范围的，所以截交线必是封闭的平面图形。截交线的形状取决于立体的几何性质及其与截平面的相对位置，通常由平面多边形、平面曲线或平面曲线与直线组成。

一、平面与平面立体表面的交线

平面与平面立体相交时，其截交线为封闭的平面折线——多边形，多边形的各边是截平面与立体表面的交线，多边形的顶点是截平面与立体棱线的交点。所以求截交线（平面与平面立体的截交线）可归结为：求平面立体棱线与截平面的交点，顺次连接成直线即可。

如图5-16所示，正六棱柱体被正垂面P截切，试完成其截切后的三面投影。

由图示可知，截平面P与正六棱柱的截交线为六边形，截交线的正面投影与PV重合，水平投影与正六棱柱上、下底面的水平投影正六边形的各边重合。根据截交线各顶点的正面投影与水平投影，可求出其侧面投影，顺次连接即可，需注意：正六棱柱的最右的棱线被截断面所遮住，所以在侧投影中与最左棱线不重合部分为虚线段。

图5-16 平面与正六棱柱相交

如果想求出截断面的实形，则可利用换面法的原理作出，读者可自行考虑。

例1 求正垂面P与正四棱锥的交线，如图5-17所示。

图5-17 平面与平面立体相交

分析：由图5-17（a）可见，截平面P与四棱锥的四个侧表面都相交，所以截交线为四边形，其顶点为四棱锥的四条棱线与截平面P的交点，由于截平面P为正垂面，所以，截交线的正面投影也积聚成直线可直接确定，然后再求水平投影和侧面投影。

作图步骤：

（1）直接求出截平面P与四棱锥四条棱线的交点的正面投影1′，2′，3′，4′；

（2）根据点的投影规律，在四棱锥各棱线的水平和侧面投影中求出1，2，3，4及1″，2″， 3″，4″；

（3）将各点的同面投影顺次连接，即得截交线的各面投影，去掉被截切的部分，即为正四棱锥被正垂面P截切后的投影。

二、平面与回转体的交线

平面与回转体表面相交时，其截交线是由曲线或曲线与直线组成的封闭平面图形，截交线为回转体表面与截平面的共有线，求截交线也就是求截交线上的若干共有点，顺次连接。

1.平面与圆柱相交

根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，圆柱的截交线有三种：矩形、圆及椭圆。见表5-1。

表5-1 圆柱截交线

续表

例1 求圆柱被正垂面P截切后的投影，如图5-18所示。

分析：

（1）由图5-18（a）可知，截平面与圆柱轴线倾斜相交，截交线为一椭圆；

图5-18 正垂面与圆柱相交

（2）由于圆柱的轴线为铅垂线，截平面P为正垂面，所以截交线的正投影积聚在Pv上，水平投影重合在圆上，侧面投影为椭圆，但不反映实形，必须求出截交线上若干共有点的投影，顺次连接即得。

作图：

（1）画出截切后圆柱的正面投影和水平投影，在侧面投影中，仅画出圆柱的投影轮廓线，如图5-18（b）所示。

（2）求特殊点，所谓特殊点是指极限素线上的点，即截交线上最高、最低、最前、最后、最左、最右点，椭圆长、短轴的端点等。在图5-18（a）中，Ⅰ，Ⅲ，Ⅴ，Ⅶ为转向轮廓线上的点，也是极限点和椭圆长、短轴的端点，根据其正面投影1′，3′，5′，（7′），可求其侧面投影1″，3″，5″，7″。

（3）求一般点，根据作图需要，可求若干一般点，方法如下：在截交线的正投影中任取一重影点2′（8′），利用圆柱面的积聚性，求出2，8点，再由2，2′求出2″，8，8′求出8″。依此类推，取若干点求其侧投影。

（4）求出足够一般点后，顺次光滑连接各点的侧面投影，即为截交线椭圆的侧面投影，此种画法比较精确。

椭圆截交线的另一种作法是求出椭圆的长、短轴后，用四心画法画出椭圆，此种方法较为简化。

例2 如图5-19（a）所示，已知顶部开有长方槽圆柱的正投影与水平投影，试画出其侧面投影。

图5-19 圆柱顶部切槽的画法

分析：圆柱上部被左、右对称的两个侧平面和一个水平面截切，两个侧平面与圆柱面的截交线为四条平行于圆柱轴线的铅垂线，水平面与圆柱面的截交线为平行于水平面的两段圆弧，利用截平面与圆柱表面投影的积聚性，可直接求出截交线的投影。

作图：

（1）画出圆柱侧投影的轮廓线，如图5-19（b）所示；

（2）由两侧平面与圆柱面所交的四条直线的水平投影积聚为aa1，bb1，cc1，dd1及正面投影为直线段a′a′1，b′b′1，c′c′1，d′d′1，可直接求出其侧面投影a″a″1，b″b1，c″c″1，d″d″1；

（3）由水平面与圆柱面所交的两段圆弧的水平投影a1ec1，b1e1d1与正面投影a′1e′c′1，b′1e′1d′1，可直接求出其侧面投影a″1e″c1，b′1e″1d″1；

（4）在侧面投影中，处于切口底面的截交线由于被圆柱面遮住一段不可见，应画成虚线。

图5-19（c）为该立体的轴测图。

2.平面与圆锥的交线

由于截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线形状有五种：圆、椭圆、抛物线、双曲线及三角形，见表5-2所示。

表5-2 圆锥截交线

例1 求圆锥被正垂面P截切后的投影，如图5-20所示。

图5-20 正垂面与圆锥相交

分析：由图5-20（a）可知，截平面为正垂面，而且与圆锥轴成斜交，β＞a，所以截交线为椭圆，其正面投影积聚成一直线与Pv重合，水平投影和侧面投影均为椭圆，且不反映实形。

作图：

（1）求特殊点(www.xing528.com)

1）在正投影中确定极限素线上的点A，B，1，2的正面投影a′，b′，1′，2′，然后在极限素线的水平投影及侧投影上求出a，b，1，2及a″，b″，1″，2″，其中点A，B是最左、最右点，又是空间椭圆长轴的端点，如图5-20（b）所示。

2）求椭圆短轴CD的投影，其正投影c′，d′重合于a′b′的中点，过c′（d′）作纬圆的正投影，并画出其水平投影，则c，d必位于该纬圆水平投影的圆的圆周上，由c，d，c′，d′可求出c″， d″。点C，D也为截交线的最前、最后点。

（2）求一般点。取一般位置点Ⅲ，Ⅳ在正投影面中的投影3′（4），利用辅助平面法，可求出其水平投影3，4和侧面投影3″，4″。

（3）判别可见性。截平面P上面部分的圆锥被切掉，截平面左低右高，所以截交线的水平投影与侧投影均可见。

（4）将截交线上的点的水平投影和侧面投影均光滑连接成椭圆（或利用长轴ab，短轴cd作椭圆得截交线水平投影，利用长轴c″d″，短轴a″b″作椭圆，得截交线的侧面投影）。

（5）整理外形轮廓线，在侧面投影上，椭圆应于圆锥的极限素线切于点Ⅰ，Ⅱ。

例2 求圆锥被正平面P截切后的投影，如图5-21所示。

图5-21 正平面与圆锥相交

分析：截平面与圆锥轴线平行。所以P与圆锥面的交线为双曲线，与圆锥底面的交线为直线段，如图5-21（a）所示。截交线的正面投影反映实形，水平投影与侧面投影分别积聚为水平和垂直方向的直线，且分别与截平面P的水平投影与侧面投影分别重合。

作图步骤（如图5-21（b）所示）：

（1）先画出圆锥体的三面投影，根据截平面P与轴线的距离，可直接画出被截切后圆锥的水平及侧面投影。

（2）求截交线的正面投影。

1）求特殊点。从水平投影及侧投影中可知，A，B为截交线的最低点（亦为最左、最右点），它们在底圆上，可由a，b向上引垂线交底圆的正面投影为a′，b′，点c为截交线的最高点，在圆锥的最前素线上，由c″可直接求得c′。

2）求一般点。在侧投影上取重影点d″（e″），利用辅助平面法求得d，e。由d″，d，e″，e求出d′，e′。

（3）判别可见性。由于P平面前面部分圆锥被切掉，所以截交线的正面投影可见。

（4）按截交线水平投影的顺序光滑连接a′，d′，c′，e′，b′，即得截交线的正投影b′a′d′c′e′b′。

3.平面与圆球相交

平面与圆球面相交，其截交线均为圆。由于截平面对投影面位置的不同，截交线的投影也不同。

截平面平行于投影面时，在该投影面上截交线的投影为圆，其它投影为直线。

截平面垂直于投影面时，在该投影面上截交线的投影为直线，其它投影为椭圆或圆。

截平面为一般位置平面，则截交线的投影均为椭圆。

例3 完成图5-22（a）所示的半圆球切槽的水平投影和侧面投影。

图5-22 半球顶部切槽的画法

分析：矩形槽是由一个水平面和两个侧平面截切而成，其截交线为四段圆弧。

作图（如图5-22（b）所示）：

（1）水平面与球面的截交线为两段水平圆弧，在水平投影面上投影反映实形，侧投影面上投影为一直线。

以O为圆心，o′a′为半径画圆，与两侧平面在水平投影面上投影的两直线段相交，得到两段圆弧的水平投影。

以O″为圆心，b′b′1为半径画圆弧的侧面投影。

（3）画矩形槽水平底面的侧面投影，不可见部分画虚线。

三、综合举例

（2）两侧平面与球面的交线为半径相等的两段圆弧，其侧面投影重合且反映实形。

例1 完成图5-23所示的顶尖的水平投影图。

分析：

顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。被互相垂直的平面P、Q截切，Q平面平行于轴线，P平面垂直于轴线。截平面Q截切圆锥所得截交线为双曲线，截切圆柱所得截交线为两直线，截平面P截切圆柱得截交线是一圆弧。

作图：

（1）截交线的正面投影都积聚成直线，侧面投影反映实形为部分圆。

（2）根据截交线的正面投影和侧面投影，画截交线的水平投影，先求出双曲线上的三个特殊点1、2、3，再用辅助平面法求出双曲线上一般位置点4、5。

（3）最后将1、4、3、5、2各点光滑连成曲线，并和圆柱截交线组成一个封闭的平面图形，即得截交线的水平投影。

图5-23 顶尖

例2 完成图5-24所示连杆的主视图。

图5-24 连杆

分析：

连杆头部由同轴的圆柱、圆环和圆球组成，被两个前后对称的正平面截切，与圆环的截交线是平面曲线，与圆球的截交线是圆弧，截交线由圆弧和平面曲线组成，截交线的水平投影和侧面投影均积聚成直线段，正面投影反映实形。

作图：

（1）作特殊点（如图5-24（b）），特殊点包括球面和圆弧回转面分界线上的点Ⅰ、Ⅲ和最右点Ⅱ，为了找出点Ⅰ的正面投影，需先做出球面和圆弧回转面的分界线（是一个纬圆）的正面投影。

在正面投影上找出球面和圆弧回转面的轮廓线（两段圆弧）的切点a′（即两圆弧的连心线与圆弧的交点）。再做出分界线的正面投影a′b′。球面截交线（圆弧）的正面投影与a′b连线的交点1′、3′即为点Ⅰ、Ⅲ的正面投影，点Ⅱ的正面投影2′可直接由水平投影求得。

（2）作一般点并连接成光滑曲线（如图5-24（b）），点Ⅰ和点Ⅱ之间应作一些一般点，从侧面投影入手，过1″和2″之间的任一点4″作辅助纬圆，可求得上、下对称的两个一般点4、5的正面投影4″、5″，然后依次光滑连接。