损伤和损伤变量分析

损伤是指在荷载、温度、环境等的作用下，材料的微细结构发生了变化，从而引起微缺陷成胚、孕育、扩展和汇合，导致材料宏观力学性能劣化，最终形成宏观开裂或材料破坏的现象。从细观的物理学的观点来看，损伤是材料产生晶粒位错、滑移，微孔洞，微裂隙等缺陷及其发展的结果；从宏观的连续介质力学的观点来看，损伤又可认为是材料内部微细结构状态的一种不可逆、能量耗散的演变过程。

损伤力学将混凝土作为连续介质，用一种内部状态变量即损伤变量来描述含微细观缺陷材料的力学效应。损伤变量是反映混凝土内部结构变化不可逆过程的内变量。忽略微、细观损伤发展细节的宏观状态量，基于连续介质力学的方法，研究混凝土材料中的一个代表性体元，通过考察该体元受到损伤而引起的宏观力学特性参数的变化来定义损伤。这样定义的损伤参量是一个在空间上连续分布，并且随时间连续变化的变量。

损伤变量可以是标量或者张量。标量损伤变量，包括单标量、双标量、多标量（向量，即一阶张量），只能描述各向同性损伤；由于微裂缝损伤演化存在明显的方向性，即损伤各向异性，所以用张量损伤变量（二阶、四阶、八阶）表征似乎更为合适，但由于其复杂性，在实际工程中很难应用。目前损伤变量的多阶张量形式仅停留在研究阶段，而标量损伤变量尽管存在许多缺点，但由于其公式简单、计算方便，被广泛用于解决能够简化为各向同性损伤模型的实际问题，其中以单标量和双标量被较多采用。

4.3.1.1　标量损伤变量

假定损伤是各向同性的，认为损伤变量独立于应力作用方向。标量损伤变量早期用于解决一维问题，但由于标量表示的损伤变量形式简单、计算方便，因此也多用于三维损伤问题的近似计算。其一般定义式为d＝1－φ/φ0，其中φ0、φ分别表示损伤前的表征物理量和损伤后的表征物理量，表征物理量可以是材料的强度、刚度、承载面积、质量密度、断裂能以及材料介质波速等。损伤变量0≤d≤1，当d＝0时，表示材料无损伤；当d＝1时，表示材料完全损伤丧失承载能力。典型的标量损伤变量有以下几种定义形式。

最早是Kachanov（1958）用有效承载面积与总面积之比定义的损伤变量：d＝1－A/A0，A为损伤后的横截面有效面积；A0为初始横截面有效面积；如果用ΔA表示横截面上损伤后的孔隙面积，损伤变量也可定义为d＝ΔA/A0，其中ΔA＝A0－A，即有效承载面积减少的量。

用密度变化表示：损伤变量d＝Δρ/ρ0，Δρ为密度因损伤而减小的量。因Δρ是很小的量，故测量比较困难。

从能量的角度考虑，损伤是不可逆的能量耗散过程。在损伤变量和耗散能量之间建立某种关系，不失为定义损伤变量的有效方法。Lubliner（1989）基于应力—应变全曲线建立了损伤变量与塑性功之间的关系。如图4.1所示，分别为单轴拉、压试验得到的应力和塑性应变之间的关系曲线。根据应力和塑性应变的关系定义了双标量损伤变量，即拉损伤变量，压损伤变量，其中gt＝Gt/l，gc＝Gc/l，Gt和Gc分别为拉、压断裂能，l为特征长度。

图4.1　应力与塑性应变关系曲线

（a）轴拉试验；（b）轴压试验(www.xing528.com)

另外，还可以采用空隙体积比、电阻率变化、超声波波速、声发射等反映和表征材料损伤。由于标量损伤变量在描述材料复杂行为时过于简化，随着计算的精细化，人们试图考虑更多因素所产生的影响。

4.3.1.2　矢量损伤变量

在多数情况下，损伤演化是各向异性的。考虑到损伤面的方向，用有效承载面积与总面积之比定义的损伤变量（Lemaitre，1984、1985）可写为：dn＝，损伤变量dn是在方向n的平面内裂缝和空隙占据的相对面积；An、AD分别是法向n的体积元截面面积和孔隙面积。由于矢量方向的不确定性，该矢量表示的损伤变量形式很少被采用。

4.3.1.3　张量损伤变量

为了反映材料损伤各向异性，Vakulenko＆；Kachanov（1971）、Drogan（1985）等将损伤变量定义为

式中：b为非连续位移向量（b＝[u]）；n为第k条裂纹表面S（k）的单位法线向量；V为统计和微观力学意义上的代表性体积元体积。

Chaboche（1993、1995）将用弹性模量表示的损伤变量推广为

式中：I为四阶单位一致张量，S0为材料初始无损状态下的刚度张量；S为材料损伤状态下的刚度张量。