RC电路的零状态响应的分析介绍

如图1-4-11所示的一阶RC电路中，电容一开始未充电，t＝0时开关闭合，电路与激励US接通，试确定S闭合后电路中的响应。

图1-4-11　RC电路的零状态响应

在S闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律uC（0+）＝uC（0－）＝0可知，t＝0+时电容相当于短路，uR（0+）＝US，故

电容开始充电后，随着时间的推移，uC将逐渐升高，uR则逐渐降低，iR（等于iC）逐渐减小。当t→∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流iC（∞）＝0，uR（∞）＝0，uC＝（∞）＝US。

由KVL得：uR+uC=uS，而，代入式（1-4-23）可得到以uC为变量的微分方程

初始条件为uC（0+）＝0。

式（1-4-24）为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解uCh，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解uCp，即uC＝uCh+uCp。

由于式（1-4-24）相应的齐次微分方程与RC 零输入响应式完全相同，因此其通解应为

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式中，A 为积分常数。特解 uCp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设uCp＝k，代入式（4-24）得uCp＝k＝US。则式（1-4-24）微分方程的解（完全解）为

将初始条件uC（0+）＝0 代入式（1-4-25），得出积分常数A＝－US，故

由于稳态值 uC（∞）＝US，故式（1-4-26）可写成

由式（1-4-27）可知，当t＝0 时，uC（0）＝0，当t＝τ 时，uC（τ）＝US（1－e–1）＝63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uC＝（∞）＝US的63.2%所需的时间是τ。而当t＝（4～5）τ 时，uC上升到其稳态值US的98.17%～99.3%，一般认为充电过程即告结束。

同理，电路中其他响应分别为

由上式可以看出：

（1）不跃变的uC（t）的零状态响应是从零值按指数规律上升趋于稳态值，该稳态值可由电路观察得出。在上面的电路中，uC的稳态值为，所以电容电压的零状态响应可写成。

（2）并不是所有变量的零状态响应都是从零值趋于稳态值，例如iC（t）是从其初始值按指数规律衰减到零。这是上图电路中iC本身性质所确定的。