傅里叶变换和反变换详解

4.2.2.1　一维连续傅里叶变换及反变换

假设f(x)为实变量x的一维连续函数，当f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)具有有限个间断点、具有有限个极值点、绝对可积时，其傅里叶变换和其反变换一定存在(实际应用中，这些条件基本上均可满足)，f(x)的傅里叶变换以F(u)来表示，即

式中:F(u)——f(x)的傅里叶变换；

j——虚数单位j＝

u——频率变量。

给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)为

式中各字母含义同式(4－1)。

4.2.2.2　二维连续傅里叶变换及反变换

二维连续函数f(x，y)的傅里叶变换F(u，v)定义为

式中:j——虚数单位j＝

u、v——频率变量。

给定F(u，v)，通过傅里叶反变换可以得到f(x，y)为

式中各字母含义同式(4－3)。

4.2.2.3　一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换

单变量离散函数f(x)(x＝0，1，2，…，M－1)的傅里叶变换F(u)定义为

式中:x——离散实变量；

u——离散频率变量。

给定F(u)，通过傅里叶反变换可以得到f(x)为

式中各字母含义同式(4－5)。

从欧拉公式ejθ＝cosθ＋jsinθ可得

傅里叶变换的极坐标表示为(www.xing528.com)

式中:｜F(u)｜——幅度或频率谱；

φ(u)——相角或相位谱。

幅度或频率谱表示为

式中:R(u)——F(u)的实部；

I(u)——F(u)的虚部。

相角或相位谱表示为

功率谱表示为

f(x)的离散表示为

F(u)的离散表示为

4.2.2.4　二维离散傅里叶变换及反变换

图像尺寸为M×N的函数f(x，y)的离散傅里叶变换为

给出F(u，v)，可通过离散傅里叶反变换得到f(x，y)为

式中:u，v——频率变量；

x，y——空间或图像变量。

二维离散傅里叶变换的极坐标表示为

幅度或频率谱表示为

式中:R(u，v)——F(u，v)的实部；

I(u，v)——F(u，v)的虚部。

相角或相位谱表示为

功率谱表示为