传递函数的性质及物理单位

（1）传递函数只适用于线性定常系统。由于传递函数是基于拉氏变换，将原来的线性常系数微分方程从时域变换至复频域得到的，故仅用于描述线性定常系统。

（2）传递函数是在零初始条件之下定义的，因此，它表示了系统内部没有任何能量储存条件下的系统描述，即Y（s）＝G（s）X（s）。如果系统内部有能量储存，将会产生系统在非零初始条件下的叠加项，即

【例2-15】 RLC网络如图2-21所示：

图2-21　RLC网络

1）求传递函数

2）当uc（0）≠0，≠0 时，写出输出响应Uc（s）。

解：系统的微分方程为

令所有初值为零，方程两边作拉氏变换，上式各线性叠加项的拉氏变换为

得到系统的传递函数为

3）当uc（0）≠0，≠0 时，将微分方程两边带初值作拉氏变换得

整理得

输出响应的拉氏变换Uc（s）为

即

Uc（s）＝G（s）·Ui（s）＋V（s）

式中

即为非零初始条件下的叠加项。

（3）传递函数是可以有量纲的。传递函数的物理单位由输入、输出的物理量的量纲来确定。如力学系统其传递函数的物理单位可以为[米]/[牛]，也就是作用力产生位移的刚度系数。电压引起的电流响应其物理单位为[安培]/[伏特]，也就是复数导纳。当然，如果输入输出为相同的物理单位，传递函数就没有物理单位。

（4）传递函数表示的关系。传递函数只表示了系统的端口关系，不明显表示系统内部部件的信息。明显表示系统内部变量关系的描述方法为状态空间法，在本课程中不予详述。

注意：①同一个物理系统，由于描述不同的端口关系，其传递函数可能不同；②不同的物理系统，其传递函数可能相同。

【例2-16】 对于图2-21所示RLC 网络，试求传递函数，并比较它们有什么不同。

解：由例2-15 已经得到传递函数为

(www.xing528.com)

由系统的微分方程

及

将两个方程合并，在初始条件为零的情况下，得到传递函数为

两个传递函数的分母多项式是相同的，但是分子多项式是不同的。

（5）传递函数是描述线性定常系统的参数模型。由于传递函数

是以s 的多项式来表示为分子多项式与分母多项式的比值，m 次分子多项式可以分解为m个因子（s－zj），j＝0，1，…，m，对应于复变函数的m 个零点（s＝zj）；n 次分母多项式可以分解为n 个因子（s－Pi），i＝0，1，…，n 对应于复变函数的n 个极点（s＝Pi），因此可以将传递函数以复变函数的零极点来表示为首一型标准形式

式中 K——系统的传递增益。

式（2-100）的多项式表示与式（2-101）的零、极点表示均是由定常参数来描述系统的，所以传递函数又称为线性定常系统的参数模型。与其相对应，系统的描述方法还有非参数模型，在此不予赘述。对于物理可实现的线性定常系统必有：

1）n≥m。

2）系统的零点与极点或为实数，或为共轭复数。

（6）传递函数的信息关系。由传递函数的表达式（2-100）可以得到传递函数的信息关系。

1）确定了输入信号X（s）与输出信号Y（s）之间的传递信息关系，因此称其为传递函数。也就是说在何种输入信号下，经过该传递关系产生何种输出，因此在数学上Y（s）为X（s）的泛函。

2）确定了系统的固有特性信息。式（2-100）的分母多项式描述了系统的固有特性，也就是系统的结构特性。如系统的阶数、系统运动规律如何等问题，由分母多项式的结构可以充分表征。

3）确定了系统与外界联系方式。式（2-100）的分子多项式提供了系统与外界联系方式的信息。从式中来看，系统的输出Y（s）响应于输入信号X（s）各阶导数的线性组合，因此线性组合方式不同，则系统的响应也就不同，这一点可以由下述例题来说明。

【例2-17】 给定两个动力学系统如图2-22所示，分别写出传递函数，并比较两个系统有什么不同。

图2-22　力学系统的输入特性

解：系统1 的微分方程为

传递函数为

系统2 的微分方程为

传递函数为

由两个系统的传递函数可以看出，其分母多项式相同，因此，系统的固有特性是相同的，但是两个系统的分子多项式是不同的，因此，两个系统与外界联系的作用特性是不同的。从输入信号的物理意义来看，系统1 的作用函数是直接作用于质量m 的作用力F（t）。而系统2 的作用函数是位移量x（t），位移量x（t）经过阻尼器ƒ1 和弹簧k 的作用，间接产生作用力作用于质量m，系统与外界作用的不同是显而易见的了。