根轨迹与虚轴交点的求解方法

根轨迹与虚轴相交，对应于系统闭环处于临界稳定状态，则交点上的K*值和ω值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的s＝jω，然后分别令其实部和虚部为零而求得。

证明：根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着K*的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的K*值。此外，因为一对纯虚根是数值相同，符号相异的根，所以利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的ω值。如果根轨迹与正虚轴（或者负虚轴）有一个以上交点，则应采用劳斯表中幂大于2 的s 偶次方行的系数构造辅助方程。

确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将s＝jω代入闭环特征方程，得到

1＋G（jω）H（jω）＝0

令上述方程的实部和虚部分别为零，有

Re[1＋G（jω）H（jω）]＝0

和

Im[1＋G（jω）H（jω）]＝0

利用这种实部方程和虚部方程，不难解出根轨迹与虚轴交点处的K*值和ω值。

法则7 根轨迹与虚轴的交点可用劳斯判据求得，也可将s＝jω带入闭环特征方程，得到实部和虚部均为零的两个方程，将两个方程联立求解，即得根轨迹与虚轴交点的K*值和ω值。

【例4-6】 设单位负反馈系统开环传递函数为

试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界增益。

解：闭环系统特征方程为

s（s＋1）（s＋2）＋Kg＝0

即(https://www.xing528.com)

s3＋3s2＋2s＋Kg＝0

当Kg＝Kgp时，根轨迹和虚轴相交，令s＝jω代入，则特征方程为

（jω）3＋3（jω）2＋2（jω）＋Kgp＝0

上式分解为实部和虚部，并分别等于零，即

Kgp－3ω2＝0

2ω＋ω3＝0

解得ω＝0，±，相应Kgp＝0，6。Kgp＝0 时，为根轨迹起点。Kgp＝6 时，根轨迹和虚轴相交，交点坐标为±j。Kgp＝6 为临界根轨迹增益。可以计算出临界开环增益为

也可利用劳斯判据确定Kgp和ω值，可列出劳斯阵为

当劳斯阵s1 行等于0 时，特征方程出现共轭虚根。令s1 行等于0，则得

Kgp＝6

共轭虚根值可由s2 行的辅助方程求得

3s2＋Kgp＝3s2＋6＝0

即