零度根轨迹的绘制法则与常规根轨迹有所不同

如果研究的系统的根轨迹方程的右侧不是“－1”而是“＋1”，这时根轨迹方程的幅值方程不变，而相角方程右侧不再是“（2k＋1）π”，而是“2kπ”，因此这种根轨迹称为零度根轨迹。这种情况主要来源于正反馈系统和某些非最小相位系统，关于非最小相位系统的概念在下一章介绍。

零度根轨迹的绘制法则，与常规根轨迹绘制法则略有不同。以正反馈系统为例：设某复杂控制系统如图4-18所示，其中内回路采用正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需要求出内回路的闭环零、极点。可以用根轨迹的方法，这就要绘制正反馈系统的根轨迹。

图4-18　复杂控制系统

系统中正反馈回路的闭环传递函数为

正反馈回路的特征方程为

正反馈回路的根轨迹方程为

将式（4-43）写成相角方程和幅值方程的形式，相角方程

幅值方程

将式（4-44）和式（4-45）与常规根轨迹方程式（4-11）和式（4-12）相比，显然幅值方程相同，而相角方程不同。因此，使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要进行修改，即法则3、法则4、法则6 应修改如下：

法则3 实轴上的根轨迹。

实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。

法则4 根轨迹的渐近线

法则6 根轨迹的出射角与入射角

除上述三个法则外，其他法则不变。

【例4-10】 正反馈系统的结构图如图4-19所示，其中(www.xing528.com)

图4-19　正反馈控制系统

试绘制开环根轨迹增益K*＝0→∞变化时的根轨迹。

解：由于该系统是正反馈控制系统，因此，当K*＝0→∞变化时的根轨迹是零度根轨迹，则利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹，步骤如下：

（1）n＝3，m＝1，有三条根轨迹。

（2）起始于开环的极点P1＝－3，P2＝－1＋j1，P3＝－1－j1，终于开环有限零点z1＝－2 和无限远处。

（3）实轴上根轨迹在（－∞，－3）和（－2，＋∞）区间内。

（4）渐近线与实轴的夹角和交点坐标：

取k＝0，α＝0°；k＝0，α＝180°。

（5）出射角与入射角。

出射角为

没有入射角。

（6）分离点。

解上述方程得：d1＝－0.8，d2＝－2.35＋j0.85，d3＝－2.35－j0.85 显然分离点只能在实轴上，则d＝－0.8。根轨迹如图4-20所示。

图4-20　例4-10 题根轨迹图

以上介绍了绘制根轨迹的基本法则，根据这些法则可以画出闭环根轨迹，根据根轨迹，可以分析系统的开环增益K（或其他可变参数）对闭环极点分布的影响，从而得知对系统动态性能的影响。